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Matrizes III

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Tópicos: Multiplicação de Matrizes (cont) | Transposição de Matrizes | Matriz Inversa |


1) Multiplicação de Matrizes (cont)

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Ordem dos fatores: conforme definição de produto vista no tópico anterior, só é possível calcular AB e BA se A e B são matrizes quadradas. Entretanto, na multiplicação de matrizes, a ordem dos fatores não é indiferente. Em geral, AB ≠ BA. Exemplos a seguir.

$$\begin{bmatrix}1&1\\1&2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}2&2\\1&1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}3&3\\4&4\end{bmatrix}\\\begin{bmatrix}2&2\\1&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&1\\1&2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}4&8\\2&3\end{bmatrix} \tag{1A}$$

Isso significa que nem sempre ocorre a propriedade comutativa. Se AB = BA, então A e B são denominadas matrizes comutativas.

Algumas propriedades do produto de matrizes: Sejam as matrizes A, B e C. Se os produtos A(BC) e (AB)C são possíveis de cálculo, então:

$$A (BC) = (AB) C \tag{1B}$$
Se os produtos AC e BC são possíveis, então:

$$(A + B) C = AC + BC \tag{1C}$$
Se os produtos CA e CB são possíveis, então:

$$C (A + B) = CA + CB \tag{1D}$$
Se Ip é a matriz unitária p×p,

$$I_p\ A_{p\times n} = A_{p\times n}\\B_{m\times p}\ I_p = B_{m\times p} \tag{1E}$$
Potências de matrizes: sejam A uma matriz quadrada e inteiro n ≥ 1. As relações básicas de potências são:

$$A^0 = 1\\A^n = A\ A^{n-1} \tag{1F}$$

2) Transposição de Matrizes

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A matriz transposta de Am×n, usualmente simbolizada por AT, é uma matriz n×m tal que, para 1 ≤ i ≤ n e 1 ≤ j ≤ m,

$$a^T_{ij} = a_{ji} \tag{2A}$$
Na prática, as linhas de uma são as colunas da outra. Exemplo:

$$\begin{bmatrix}1&4\\2&5\\3&6\end{bmatrix}^T = \begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\end{bmatrix} \tag{2B}$$
Algumas propriedades da transposição de matrizes:

$$(A^T)^T = A\\(A+B)^T = A^T+B^T\\(kA)^T = k\ A^T\\(AB)^T = B^T A^T\\\text{Se }A =A^T\quad\text{então}\quad a_{ij} = a_{ji}\\\det A^T = \det A \tag{2C}$$

Nota: det indica determinante.


3) Matriz Inversa

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A matriz inversa de uma matriz quadrada A, usualmente simbolizada por A−1, é uma matriz também quadrada tal que:

$$A\ A^{-1} = A^{-1} A = I \tag{3A}$$
Ou seja, o produto de ambas é a matriz unitária (ou matriz identidade). Nem toda matriz quadrada admite uma inversa. Se a matriz não possui inversa, ela é dita matriz singular. Se a inversa é possível, ela é uma matriz não singular.

Algumas propriedades das matrizes inversas:
$$(A^{-1})^{-1} = A\\(AB)^{-1} = B^{-1} A^{-1}\\(A^T)^{-1} = (A^{-1})^T \tag{3B}$$
Se A é uma matriz quadrada tal que $\displaystyle{ A\ A^T = A^T A = I}$, ela é dita matriz ortogonal (a transposta é igual à inversa).
Referências
Bouché, Ch; Leitner, A; Sass, F. Dubbel - Manual da Construção de Máquinas. São Paulo: Hemus, 1979.
Giek, Kurt. Manual de Fórmulas Técnicas. São Paulo: Hemus.
Simmons, H. A. College Algebra. New York: Macmillan.
Vygodsky, M. Mathematical Handbook. Moscow: Mir Publishers, 1971.

Topo | Rev: Fev/2008