Anotações & Informações | Índice | Fim pág | Voltar |


Matrizes II

| Índice do grupo | Página anterior | Próxima página |

Tópicos: Adição e Subtração | Multiplicação por um Escalar | Algumas Propriedades da Adição e da Multiplicação por Escalar | Multiplicação de Matrizes |


1) Adição e Subtração

(Topo | Fim pág)

Essa operação só pode ser feita com matrizes de mesmo número de linhas e mesmo número de colunas. Sejam duas matrizes Am×n e Bm×n. A soma ou subtração de ambas é uma matriz:

$$R = A\ \pm B \tag{1A}$$
Com os elementos dados por:

$$r_{ij} = a_{ij}\ \pm\ b_{ij} \tag{1B}$$
Exemplo:

$$\begin{bmatrix}4&0&8\\1&3&3\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}2&4&1\\2&5&4\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}6&4&9\\3&8&7\end{bmatrix} \tag{1C}$$


2) Multiplicação por um Escalar

(Topo | Fim pág)

Nessa operação, todos os elementos da matriz são multiplicados pelo escalar. Se Am×n é uma matriz qualquer e c é um escalar qualquer, tem-se então o produto:

$$P = c\ A \tag{2A}$$
Onde P é uma matriz m×n tal que:

$$p_{ij} = c\ a_{ij} \tag{2B}$$
Exemplo a seguir.

$$2 \begin{bmatrix}4&0&2\\1&3&3\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}8&0&4\\2&6&6\end{bmatrix} \tag{2C}$$


3) Algumas Propriedades da Adição e da Multiplicação por Escalar

(Topo | Fim pág)

Sejam as matrizes A e B, ambas m×n, e os escalares a e b.

$$a(bA) = ab (A)\\a(A+B) = aA + aB\\\text{Se } aA = aB \text{, então } A = B \tag{3A}$$

4) Multiplicação de Matrizes

(Topo | Fim pág)

Sejam Am×p e Bp×n, isto é, duas matrizes tais que o número de colunas da primeira é igual ao número de linhas da segunda. O produto de ambas é uma matriz m×n:

$$C = AB \tag{4A}$$
De forma que:

$$c_{ij} = \sum_{k=1}^p a_{ik} b_{kj} \tag{4B}$$
Exemplo:

$$\begin{bmatrix}4&0&5\\1&1&3\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&2\\2&5\\1&0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}9&8\\6&7\end{bmatrix} \tag{4C}$$

Nesse exemplo, os cálculos são:

c11 = 4×1 + 0×2 + 5×1 = 9
c12 = 4×2 + 0×5 + 5×0 = 8
c21 = 1×1 + 1×2 + 3×1 = 6
c22 = 1×2 + 1×5 + 3×0 = 7

Na linguagem prática, pode-se dizer que se tomam a primeira linha de A e primeira coluna de B, multiplicando os pares de elementos. A soma desses produtos é a primeira linha e primeira coluna da matriz resultante. Depois, a primeira linha de A pela segunda coluna de B. Depois, a segunda linha de A pela primeira coluna de B e assim sucessivamente.
Referências
Bouché, Ch; Leitner, A; Sass, F. Dubbel - Manual da Construção de Máquinas. São Paulo: Hemus, 1979.
Giek, Kurt. Manual de Fórmulas Técnicas. São Paulo: Hemus.
Simmons, H. A. College Algebra. New York: Macmillan.
Vygodsky, M. Mathematical Handbook. Moscow: Mir Publishers, 1971.

Topo | Rev: Fev/2008