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Matemática Financeira VI

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Tópicos: Valor Atual para Prestações Variáveis |


1) Valor Atual para Prestações Variáveis

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As fórmulas vistas em página anterior para cálculo do valor presente de um financiamento supõem prestações fixas. Entretanto, em alguns casos de empréstimos, as prestações são variáveis e as fórmulas mencionadas não podem ser aplicadas.

No exemplo da tabela seguinte, retirado de um caso real de financiamento, as prestações mensais variam e não há uma relação constante entre elas.

knúmero sequencial da prestação
Pkvalor da prestação
VPkvalor presente da prestação para juro de 1% ao mês

kPkVPkkPkVPk
1 430,09 425,83 27 659,26 503,94
2 430,09 421,62 28 659,26 498,95
3 431,15 418,47 29 659,26 494,01
4 430,09 413,31 30 659,26 489,12
5 436,35 415,17 31 659,26 484,28
6 430,09 405,16 32 659,26 479,48
7 521,57 486,48 33 659,26 474,74
8 430,09 397,18 34 659,26 470,03
9 521,57 476,89 35 659,26 465,38
10 614,87 556,63 36 659,26 460,77
11 521,57 467,50 37 659,26 456,21
12 521,57 462,87 38 659,26 451,69
13 521,57 458,28 39 732,66 497,01
14 521,57 453,75 40 732,66 492,09
15 583,23 502,36 41 732,66 487,22
16 583,23 497,39 42 732,66 482,40
17 583,23 492,47 43 732,66 477,62
18 583,23 487,59 44 732,66 472,89
19 583,23 482,76 45 732,66 468,21
20 583,23 477,98 46 732,66 463,57
21 583,23 473,25 47 732,66 458,98
22 583,23 468,56 48 732,66 454,44
23 583,23 463,93 49 732,66 449,94
24 583,23 459,33 50 732,66 445,49
25 583,23 454,78 51 776,42 467,42
26 583,23 450,28 - - -

Considera-se que as prestações são pagas no final de cada mês e que se deseja o valor presente do financiamento no início do primeiro mês (k = 1). Assim, o valor presente de cada prestação é:

$$VP_k = {P_k \over (1+i)^k} \tag{1A}$$
Onde i é a taxa de juro mensal (em decimal. Exemplo: i = 0,01 significa 1%). Portanto, o valor atual do fluxo de pagamentos é a soma dos valores individuais:

$$VP = \sum VP_k \tag{1B}$$
No exemplo da tabela, os valores VPk foram calculados para i = 0,01 e a soma é VP = 23.815,74

Se o cálculo do valor presente do fluxo da tabela anterior for repetido para diversos valores da taxa de juros i, é possível montar uma tabela do valor presente em função da taxa de juros, conforme tabela a seguir.

i VP
−0,006 37182,67
−0,004 35052,78
−0,002 33076,13
0,000 31240,46
0,002 29534,54
0,004 27948,12
0,006 26471,79
0,008 25096,95
0,010 23815,74
0,012 22620,93
0,014 21505,91
0,016 20464,60
0,018 19491,44

O resultado pode ser visto em forma de gráfico na Figura 1-I.


Fig 1-I

A taxa de juros i é indicada em percentuais, isto é, o valor da tabela multiplicado por 100.
Referências
Giek, Kurt. Manual de Fórmulas Técnicas. São Paulo: Hemus.
Simmons, H. A. College Algebra. New York: Macmillan.
Vygodsky, M. Mathematical Handbook. Moscow: Mir Publishers, 1971.

Topo | Rev: Fev/2008