Anotações & Informações | Índice | Fim pág | Voltar |


Matemática Financeira VI

| Índice do grupo | Página anterior | Próxima página |

Tópicos: Valor no Horizonte (alguns exemplos) | Descontos |


1) Valor no Horizonte (alguns exemplos)

(Topo | Fim pág)

Exemplo 1-I: durante 3 meses e no fim de cada mês, a quantia de R$ 100,00 é aplicada num investimento que retorna 2% ao mês. Qual será o valor do investimento no final do 3º mês?

Solução: desde que as movimentações ocorrem no final de cada período, deve ser usada a fórmula (1C) da página anterior. Os dados são: P = 100,00; n = 3; i = 2/100 = 0,02. Assim,

M = 100 1,023 − 10,02 ≈ 306,04

Da tabela da mesma página, o fator para n = 3 e p = 2% é 3,060. Portanto, M = 100 × 3,060 = 306,00 (a diferença dos centavos é devida a arredondamentos).


Exemplo 1-II (prova IRB 2004): um capital é aplicado com capitalização dos juros durante três períodos a uma taxa de juros de 10% ao período. Calcule os juros devidos como porcentagem do capital aplicado.

a) 30%
b) 31,3%
c) 32,2%
d) 33,1%
e) 34%

Solução: segundo (1A) da página anterior, M = C (1 + i)n. Neste caso, n = 3 e i = 10/100 = 0,1.

Da Tabela de Juros Compostos, (1 + 0,1)3 = 1,331.

Portanto, M = C × 1,331. A parcela de juros é a diferença M − C = 1,331 C − C = 0,331 C = 33,1% C. Resposta d.


Exemplo 1-III (prova IRB 2004): uma série de doze valores monetários relativos ao fim de cada um de doze períodos de tempo representa o fluxo de caixa esperado de uma alternativa de investimento. Considerando que o valor atual desse fluxo de caixa no início do primeiro período é de R$ 30.000,00, calcule o valor futuro desse fluxo ao fim do décimo segundo período, considerando uma taxa de juros compostos de 10% ao período (despreze os centavos).

a) R$ 94.152,00
b) R$ 85.593,00
c) R$ 77.812,00
d) R$ 70.738,00
e) R$ 66.000,00

Solução: o valor atual no início do primeiro período é C = 30.000,00. No final do período n o montante, segundo (1A) da página anterior, é M = C (1 + i)n. Neste caso, n = 12 e i = 10/100 = 0,1

Da Tabela de Juros Compostos, (1 + 0,1)12 = 3,138

Calculando, M = 30.000,00 × 3,138 = R$ 94.140,00. Resposta a (a diferença é devida a aproximações. A tabela mencionada usa 3 casas decimais. Com 6 decimais, o valor é 3,138428, que, multiplicado por 30000, resulta em 94.152,84).


2) Descontos

(Topo | Fim pág)

Descontos são negociações antecipadas de títulos, com a dedução dos juros decorrentes da antecipação. Sejam os parâmetros abaixo.

A valor atual (valor do título descontado)
Ddesconto aplicado
itaxa de juros por período
nnúmero de períodos do desconto
Nvalor nominal (valor do título sem desconto)

A relação básica é:

$$A = N - D \tag{2A}$$
Quanto à aplicação de juros, o desconto pode ser simples ou composto. Quanto à referência de cálculo, pode ser:

• Comercial (por fora): o desconto é calculado em relação ao valor nominal.

• Racional (por dentro): o desconto é calculado em relação ao valor atual.

Desconto simples por fora (comercial)

$$D = n\ i\ N \tag{2B}$$
Calculando o valor atual, A = N − D = N − n i N. Portanto,

$$A = N (1 - n\ i) \tag{2C}$$
Desconto simples por dentro (racional)

$$D = n\ i\ A \tag{2D}$$
A = N − D = N − n i A. Resolvendo,

$$A = {N \over 1 + n i} \tag{2E}$$
Desconto composto por fora

Equivale à aplicação sucessiva de descontos simples por fora em cada período. Usando (2C) para o primeiro (n = 1), tem-se A1 = N (1 − i). Para o segundo, A2 = A1 (1 − i) = N (1 − i)2. Generalizando,

$$A = N (1 - i)^n \tag{2F}$$
Desconto composto por dentro

De forma similar à anterior, equivale à aplicação sucessiva de descontos simples por dentro. O resultado é:

$$A = {N \over (1 + i)^n} \tag{2G}$$

Exemplo 2-I (CFC 1º sem 2003, com adaptações): os juros cobrados numa operação de desconto composto por fora foram iguais a R$ 370,00. Sabendo que o valor do título é de R$ 1.800,00 e que faltavam 75 dias para o vencimento deste, determinar a taxa de desconto mensal.

Solução: os juros cobrados são o desconto D. De (2A) e (2F), D = N − A = N − N (1 − i)n. Portanto,

D = N [ 1 − (1 − i)n ]

Os parâmetros são D = 370; N = 1.800 e n = 75/30 = 2,5 meses. Substituindo,

370 = 1800 [ 1 − (1 − i)2,5 ]

Resolvendo, i ≈ 0,08794 = 8,794% ao mês
Referências
Giek, Kurt. Manual de Fórmulas Técnicas. São Paulo: Hemus.
Simmons, H. A. College Algebra. New York: Macmillan.
Vygodsky, M. Mathematical Handbook. Moscow: Mir Publishers, 1971.

Topo | Rev: Fev/2008