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Matemática Financeira V

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Tópicos: Pagamentos ou Recebimentos Múltiplos (valor no horizonte) | Tabela para Fator de Acumulação de Capital |


1) Pagamentos ou Recebimentos Múltiplos (valor no horizonte)

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Conforme visto em página anterior, o valor no horizonte (ou montante) M de um capital C após n períodos com taxa i por período é dado por:

$$M = C (1 + i)^n = {C \over \nu_i^n} \tag{1A}$$
O termo νi é denominado fator de desconto:

$$\nu_i = (1 + i)^{-1} \tag{1B}$$
O problema agora é saber o valor acumulado M de uma série de pagamentos P, com taxa por período i (Figura 1-I). De forma similar ao método já visto para pagamentos ou recebimentos múltiplos, M é a soma dos valores no horizonte de cada pagamento individual j (1 ≤ j ≤ n). Para um pagamento j, o capital C é a prestação P e o número de períodos n é n − j. Assim,

$\displaystyle M = \sum M_j = P \sum_{j=1}^n (1+i)^{n-j}$. A expressão que segue P é a soma dos termos de uma progressão geométrica de n termos, com o primeiro termo (1 + i)n−1 e quociente (1 + i)−1. Aplicando a fórmula da soma de uma progressão geométrica e simplificando,

$$M = P {(1+i)^n - 1 \over i} = P\ s_{n|i} \tag{1C}$$
O termo sn|i é o fator de acumulação de capital:

$$s_{n|i} = {(1+i)^n - 1 \over i} \tag{1D}$$

Fig 1-I

A fórmula anterior supõe que os pagamentos ocorrem no final de cada período. Se os pagamentos são antecipados, isto é, no início de cada período (Figura 1-II), chega-se, de maneira similar, à igualdade

$$M = P\ (1+i) s_{n|i} \tag{1E}$$

Fig 1-II

Comparando (1E) com (1C), observa-se que o montante de pagamentos antecipados é igual ao anterior multiplicado por (1 + i). Isso pode ser visto graficamente: o fluxo da Figura 1-II equivale ao da Figura 1-I com M deslocado de um período.

Relacionando agora (1C) com (1E) do tópico Pagamentos ou Recebimentos Múltiplos (valor atual) para os mesmos valores de P, n e i, obtém-se M = C (1 + i)n, resultado pode ser esperado, uma vez que o montante é igual ao capital acrescido dos juros de n períodos.


2) Tabela para Fator de Acumulação de Capital

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A seguir, sn|i conforme (1D) para alguns valores de n e i, este último dado pelos números da primeira linha divididos por 100.

n 1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 10% 12% 15% 18%
1 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000
2 2,010 2,020 2,030 2,040 2,050 2,060 2,070 2,080 2,090 2,100 2,120 2,150 2,180
3 3,030 3,060 3,091 3,122 3,153 3,184 3,215 3,246 3,278 3,310 3,374 3,473 3,572
4 4,060 4,122 4,184 4,246 4,310 4,375 4,440 4,506 4,573 4,641 4,779 4,993 5,215
5 5,101 5,204 5,309 5,416 5,526 5,637 5,751 5,867 5,985 6,105 6,353 6,742 7,154
6 6,152 6,308 6,468 6,633 6,802 6,975 7,153 7,336 7,523 7,716 8,115 8,754 9,442
7 7,214 7,434 7,662 7,898 8,142 8,394 8,654 8,923 9,200 9,487 10,089 11,067 12,142
8 8,286 8,583 8,892 9,214 9,549 9,897 10,260 10,637 11,028 11,436 12,300 13,727 15,327
9 9,369 9,755 10,159 10,583 11,027 11,491 11,978 12,488 13,021 13,579 14,776 16,786 19,086
10 10,462 10,950 11,464 12,006 12,578 13,181 13,816 14,487 15,193 15,937 17,549 20,304 23,521
11 11,567 12,169 12,808 13,486 14,207 14,972 15,784 16,645 17,560 18,531 20,655 24,349 28,755
12 12,683 13,412 14,192 15,026 15,917 16,870 17,888 18,977 20,141 21,384 24,133 29,002 34,931
13 13,809 14,680 15,618 16,627 17,713 18,882 20,141 21,495 22,953 24,523 28,029 34,352 42,219
14 14,947 15,974 17,086 18,292 19,599 21,013 22,550 24,215 26,019 27,975 32,393 40,505 50,818
15 16,097 17,293 18,599 20,024 21,579 23,276 25,129 27,152 29,361 31,772 37,280 47,580 60,965
16 17,258 18,639 20,157 21,825 23,657 25,673 27,888 30,324 33,003 35,950 42,753 55,717 72,939
17 18,430 20,012 21,762 23,698 25,840 28,213 30,840 33,750 36,974 40,545 48,884 65,075 87,068
18 19,615 21,412 23,414 25,645 28,132 30,906 33,999 37,450 41,301 45,599 55,750 75,836 103,740
Referências
Giek, Kurt. Manual de Fórmulas Técnicas. São Paulo: Hemus.
Simmons, H. A. College Algebra. New York: Macmillan.
Vygodsky, M. Mathematical Handbook. Moscow: Mir Publishers, 1971.

Topo | Rev: Fev/2008