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Matemática Financeira IV

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Tópicos: Valor Atual (alguns exemplos) | Cálculo de Prestações - Tabela Price |


1) Valor Atual (alguns exemplos)

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Exemplo 1-I: uma mercadoria é comprada em três prestações mensais consecutivas de R$ 100,00, com a primeira prestação um mês após a compra e taxa de juro de 2% ao mês. Determinar o valor à vista dessa mercadoria.

Solução: são dados n = 3, P = 100,00 e p = 2%. Assim, i = p100 = 0,02.

Entrando com esses valores em (1B) da página anterior, o resultado é C ≈ 288,61. Usando a tabela da página anterior, an|i = 2,884 para n = 3 e i = 0,02. Portanto, C = 100 × 2,884 = 288,40. A diferença dos centavos é devida a arredondamentos.


Exemplo 1-II (prova IRB 2004): um bônus possui valor nominal de US$ 1,000.00 e contém quatro cupons semestrais de US$ 50.00 cada, sendo que o primeiro cupom vence ao fim de seis meses, e assim sucessivamente, até que, junto com o quarto cupom, o comprador do bônus recebe o valor nominal do bônus de volta, obtendo assim uma remuneração nominal de 5% ao semestre em sua aplicação de capital. Abstraindo custos administrativos e comissões, calcule o deságio necessário sobre o valor nominal do bônus para que a aplicação de compra do bônus produza um ganho real de 6% ao semestre.

a) 3%
b) 3,196%
c) 3,465%
d) 5%
e) 6,21%

Valor atual (C1) de 4 recebimentos semestrais de US$ 50 com juros de 6% por semestre: segundo (1E) da página anterior,

C1 = 50 × a4|0,06. Da Tabela de Fator de Valor Atual, a4|0,06 = 3,465. Portanto, C1 = 50 × 3,465 = 173,25

Valor atual (C2) de 1 recebimento de US$ 1000 após 4 semestres com juros de 6% por semestre: segundo (1D) da página anterior,

C2 = 1000 × ν0,064 = 1000 1(1 + 0,06)4. Da Tabela de Juros Compostos, (1 + 0,06)4 = 1,262. Assim,

C2 = 10001,262 = 792,39

A soma C1 + C2 = 173,25 + 792,39 = 965,64 é o valor atual do título com juros de 6% por semestre. Portanto, o deságio deve ser 1000 − 965,641000 = 0,03436 = 3,436%. Resposta c (a diferença ocorre em função de arredondamentos nas tabelas). Nota-se que o dado 5% não é usado porque é apenas a remuneração nominal simples de lançamento do título.


Exemplo 1-III (CFC 1º sem 2003, com adaptações): uma empresa contratou um financiamento para ser pago em 12 parcelas iguais de R$ 1.990,53, pactuando a taxa nominal dos juros de 40% ao ano, capitalizados mensalmente. Determinar o valor liberado no financiamento, considerando taxa mensal equivalente.

Solução: para juro anual de 40% (i = 0,4 e n = 12), o juro mensal é i = (1 + 0,4)1/12 − 1 ≈ 0,0284361 (ver Juro Composto). A questão deseja o valor atual do empréstimo. Usando (1E) da página anterior,

C = P (1 + i)n − 1i (1 + i)n = 1.990,53 1,028436112 − 10,0284361 × 1,028436112 ≈ 1.990,53 0,40,03981054 ≈ R$ 20.000,00


2) Cálculo de Prestações - Tabela Price

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A fórmula (1E) da página anterior pode ser reagrupada para fornecer o valor da prestação em função dos demais parâmetros:

P = C i (1 + i)n(1 + i)n − 1

Dividindo numerador e denominador por (1 + i)n, ocorre a simplificação:

$$P = C {i \over 1 - (1+i)^{-n}} \tag{2A}$$
A fórmula acima corresponde à Tabela Price ou método francês de amortização (cabe lembrar que os conceitos de matemática financeira foram desenvolvidos antes do surgimento de calculadoras e computadores. O uso de tabelas era disseminado até então porque cálculos com expoentes são trabalhosos se executados manualmente ou com máquinas simples). A expressão i1 − (1 + i)−n corresponde ao inverso do fator de valor atual visto na mesma página.


Exemplo 2-I: deseja-se financiar um imóvel de R$ 100.000,00 em 120 prestações mensais iguais, com 10% ao ano de juros pela Tabela Price. Determinar o valor da prestação.

Solução: na praxe financeira, 10% ao ano de juros significa taxa nominal. Assim, a taxa mensal é dada por p = 10%12 ≈ 0,8333%. Portanto, i = 0,8333100 = 0,008333. Outros dados para a fórmula (2A) são: C = 100 000,00 e n = 120. Substituindo os valores,

P = 100.000,00 0,0083331 − (1 + 0,008333)−120 ≈ 100.000,00 0,013215 ≈ R$ 1.321,50


Exemplo 2-II (CFC 1º sem 2003, com adaptações): uma casa está sendo vendida por R$ 240.000,00 à vista. Desejamos financiá-la pelo seguinte plano: R$ 45.000,00 após 60 dias mais 36 prestações mensais e iguais, sendo a primeira após 30 dias. Determinar o valor das prestações, se a taxa de juros compostos cobrada (inclusive sobre a entrada) é de 3% ao mês.

Solução: em decimais, a taxa de 3% ao mês é dada por i = 3100 = 0,03. O valor atual da entrada (60 dias = 2 meses) é:

45.000(1 + 0,03)2 = 42.416,82

Portanto, o valor a financiar é 240.000,00 − 42.416,82 = 197.583,18. Usando a fórmula (2A), o valor da prestação é calculado por:

197.583,18 0,031 − (1 + 0,03)−36 ≈ 197.583,18 × 0,0458038 ≈ R$ 9.050,06
Referências
Giek, Kurt. Manual de Fórmulas Técnicas. São Paulo: Hemus.
Simmons, H. A. College Algebra. New York: Macmillan.
Vygodsky, M. Mathematical Handbook. Moscow: Mir Publishers, 1971.

Topo | Rev: Fev/2008