Anotações & Informações | Índice | Fim pág | Voltar |


Matemática Financeira III

| Índice do grupo | Página anterior | Próxima página |

Tópicos: Pagamentos ou Recebimentos Múltiplos (valor atual) | Tabela de Fator de Valor Atual |


1) Pagamentos ou Recebimentos Múltiplos (valor atual)

(Topo | Fim pág)

No caso de uma operação de empréstimo com um pagamento e um recebimento (Figura 01) no conceito de juro composto, a relação entre o valor atual (ou capital) C e o valor no horizonte (ou montante) M é dada pela igualdade já vista em página anterior:

$$M = C\ (1 + i)^n \tag{1A}$$
Onde i é a taxa de juro por período e n é o número de períodos entre o recebimento do empréstimo e o seu pagamento. Isolando o valor atual C,

$$C = M\ (1 + i)^{-n} \tag{1B}$$

Fig 1-I

Em algumas referências é usado o conceito de fator de desconto:

$$\nu_i = (1+i)^{-1} \tag{1C}$$
Portanto, o valor atual C para um montante M relativo a n períodos e taxa i por período é dado por:

$$C = M\ \nu_i^n \tag{1D}$$
A Tabela de Juros Compostos da página anterior dá alguns valores de (1 + i)n, que equivalem a νi−n.

Uma situação comum na prática é o financiamento em determinado número de prestações fixas, em intervalos iguais e sob uma taxa de juros por período segundo o critério de juro composto. Nessa condição (ver Figura 1-II), o valor atual do fluxo C corresponde ao valor à vista do bem e a soma dos valores atuais de cada prestação P deve corresponder a esse valor à vista.

Seja uma prestação genérica k (1 ≤ k ≤ n). O valor atual correspondente a essa prestação (Ck) pode ser obtido da fórmula anterior (1A) com M = P e n = k: Ck = P(1 + i)k. Considera-se r = 11 + i. Assim, Ck = P rk


Fig 1-II

E o valor atual C deve ser a soma dos valores atuais de cada prestação: $\displaystyle C = \sum C_k = P \sum_{k=1}^n r^k$. Esse último termo é a soma de uma progressão geométrica de valor inicial r e quociente r. Usando a fórmula matemática para essa soma, C = P r 1 − rn1 − r. Substituindo o valor de r e simplificando, chega-se a:

$$C = P\ a_{n|i}\quad\text{onde}\\a_{n|i} = \frac{(1+i)^n-1}{i(1+i)^n} \tag{1E}$$
O termo an|i é denominado fator de valor atual para n prestações e juro i por período.


2) Tabela de Fator de Valor Atual

(Topo | Fim pág)

n 1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 10% 12% 15% 18%
1 0,990 0,980 0,971 0,962 0,952 0,943 0,935 0,926 0,917 0,909 0,893 0,870 0,847
2 1,970 1,942 1,913 1,886 1,859 1,833 1,808 1,783 1,759 1,736 1,690 1,626 1,566
3 2,941 2,884 2,829 2,775 2,723 2,673 2,624 2,577 2,531 2,487 2,402 2,283 2,174
4 3,092 3,808 3,717 3,630 3,546 3,465 3,387 3,312 3,240 3,170 3,037 2,855 2,690
5 4,853 4,713 4,580 4,452 4,329 4,212 4,100 3,993 3,890 3,791 3,605 3,352 3,127
6 5,795 5,601 5,417 5,242 5,076 4,917 4,767 4,623 4,486 4,355 4,111 3,784 3,498
7 6,728 6,472 6,230 6,002 5,786 5,582 5,389 5,206 5,033 4,868 4,564 4,160 3,812
8 7,652 7,325 7,020 6,733 6,463 6,210 5,971 5,747 5,535 5,335 4,968 4,487 4,078
9 8,566 8,162 7,786 7,435 7,108 6,802 6,515 6,247 5,995 5,759 5,328 4,772 4,303
10 9,471 8,983 8,530 8,111 7,722 7,360 7,024 6,710 6,418 6,145 5,650 5,019 4,494
11 10,368 9,787 9,253 8,760 8,306 7,887 7,499 7,139 6,805 6,495 5,938 5,234 4,656
12 11,255 10,575 9,954 9,385 8,863 8,384 7,943 7,536 7,161 6,814 6,194 5,421 4,793
13 12,134 11,348 10,635 9,986 9,394 8,853 8,358 7,904 7,487 7,103 6,424 5,583 4,910
14 13,004 12,106 11,296 10,563 9,899 9,295 8,745 8,244 7,786 7,367 6,628 5,724 5,008
15 13,865 12,849 11,938 11,118 10,380 9,712 9,108 8,559 8,061 7,606 6,811 5,847 5,092
16 14,718 13,578 12,561 11,652 10,838 10,106 9,447 8,851 8,313 7,824 6,974 5,954 5,162
17 15,562 14,292 13,166 12,166 11,274 10,477 9,763 9,122 8,544 8,022 7,120 6,047 5,222
18 16,398 14,992 13,754 12,659 11,690 10,828 10,059 9,372 8,756 8,201 7,250 6,128 5,273

A tabela acima dá resultados de an|i conforme (1E), para alguns valores de n e i, este último dado pelos valores da primeira linha divididos por 100.
Referências
Giek, Kurt. Manual de Fórmulas Técnicas. São Paulo: Hemus.
Simmons, H. A. College Algebra. New York: Macmillan.
Vygodsky, M. Mathematical Handbook. Moscow: Mir Publishers, 1971.

Topo | Rev: Fev/2008