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Matemática Financeira II

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Tópicos: Juro Composto | Tabela de Juros Compostos | Comparação Juros Simples e Compostos |


1) Juro Composto

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No conceito de juro composto, os juros dos períodos anteriores são acumulados para o período seguinte em forma de progressão geométrica. No exemplo da Figura 1-I, cada retângulo numerado representa um período T, ao qual corresponde uma taxa de juro i. De acordo com a relação (1A) do tópico anterior, o montante M1 (final do período 1) correspondente ao capital C no início do mesmo período é dado por:

M1 = C (1 + i)

Esse valor é o capital para o início do segundo período. Assim,

M2 = M1 (1 + i) = C (1 + i) (1 + i) = C (1 + i)2

Para o último período,

M12 = C (1 + i)12

Generalizando para n períodos,

$$M_n = C\ (1 + i)^n \tag{1A}$$

Fig 1-I

Considerando os n períodos equivalentes a um único período de taxa in, pode-se fazer a igualdade Mn = C (1 + i)n = C (1 + in). Simplificando,

$$i_n = (1 + i)^n - 1 \tag{1B}$$
Essa fórmula calcula, portanto, a taxa de juro composto in para n períodos de taxa de juro i. Ela pode ser rearranjada para indicar a taxa por período i em função da taxa dos n períodos in:

$$i = \left(1+i_n\right)^{\tfrac{1}{n}} - 1 \tag{1C}$$
Supõe-se agora a relação (1B) com k períodos, ik = (1 + i)k − 1. Se é conhecida a taxa in para n períodos, substitui-se o valor de i dado por (1C) nessa relação e o resultado é:

$$i_k = \left(1+i_n\right)^{\tfrac{k}{n}} - 1 \tag{1D}$$
Ou seja, a taxa para k períodos é calculada em função da taxa para n períodos.

Em razão de o capital de um período ser igual ao montante (capital mais juros) do período anterior, juros compostos são também denominados juros capitalizados ou juros sobre juros.

Na maioria dos países, inclusive o Brasil, as operações financeiras são quase sempre calculadas com juros compostos. Alguns conceitos de praxe são dado a seguir.

• Taxa nominal: é um valor apenas de referência, adotado para um determinado período (em geral, um ano), com menção dos períodos a capitalizar. Exemplo: 36% ao ano capitalizados mensalmente.

• Taxa do período (proporcional): é a taxa nominal proporcional a cada período de capitalização. No exemplo anterior, o seu valor é 36% / 12 = 3% ao mês.

• Taxa efetiva: é a taxa de juros compostos, calculada com a taxa por período, para o número de períodos desejados.

Exemplo: no caso de 36% ao ano capitalizados mensalmente, a taxa por período é p = 36% / 12 = 3% ao mês. Ou i = p/100 = 0,03. Para um ano (12 meses), a taxa efetiva é calculada segundo igualdade (1B): i12 = (1 + 0,03)12 − 1 ≈ 0.426 ou 42,6%.

Na forma genérica, é comum o uso da notação i(m), onde i é a taxa nominal para o ano e m é o número de capitalizações por ano (não é expoente). Assim, a taxa do período é i(m)/m. Substituindo em (1B) e reagrupando,

$$\left(1 + {i^{(m)}\over m}\right)^m = i + 1 \tag{1E}$$
Onde i é a taxa anual efetiva equivalente a i(m).


2) Tabela de Juros Compostos

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A tabela dá os resultados de (1 + i)n, onde i = p/100, para diversos valores de p e n. Naturalmente, ela é desnecessária diante de calculadoras e programas como planilhas de cálculo. Mas em provas, o seu uso pode ser solicitado.

n 1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 10% 12% 15% 18%
1 1,010 1,020 1,030 1,040 1,050 1,060 1,070 1,080 1,090 1,100 1,120 1,150 1,180
2 1,020 1,040 1,061 1,082 1,103 1,124 1,145 1,166 1,188 1,210 1,254 1,323 1,392
3 1,030 1,061 1,093 1,125 1,158 1,191 1,225 1,260 1,295 1,331 1,405 1,521 1,643
4 1,041 1,082 1,126 1,170 1,216 1,262 1,311 1,360 1,412 1,464 1,574 1,749 1,939
5 1,051 1,104 1,159 1,217 1,276 1,338 1,403 1,469 1,539 1,611 1,762 2,011 2,288
6 1,062 1,126 1,194 1,265 1,340 1,419 1,501 1,587 1,677 1,772 1,974 2,313 2,700
7 1,072 1,149 1,230 1,316 1,407 1,504 1,606 1,714 1,828 1,949 2,211 2,660 3,185
8 1,083 1,172 1,267 1,369 1,477 1,594 1,718 1,851 1,993 2,144 2,476 3,059 3,759
9 1,094 1,195 1,305 1,423 1,551 1,689 1,838 1,999 2,172 2,358 2,773 3,518 4,435
10 1,105 1,219 1,344 1,480 1,629 1,791 1,967 2,159 2,367 2,594 3,106 4,046 5,234
11 1,116 1,243 1,384 1,539 1,710 1,898 2,105 2,332 2,580 2,853 3,479 4,652 6,176
12 1,127 1,268 1,426 1,601 1,796 2,012 2,252 2,518 2,813 3,138 3,896 5,350 7,288
13 1,138 1,294 1,469 1,665 1,886 2,133 2,410 2,720 3,066 3,452 4,363 6,153 8,599
14 1,149 1,319 1,513 1,732 1,980 2,261 2,579 2,937 3,342 3,797 4,887 7,076 10,147
15 1,161 1,346 1,558 1,801 2,079 2,397 2,759 3,172 3,642 4,177 5,474 8,137 11,974
16 1,173 1,373 1,605 1,873 2,183 2,540 2,952 3,426 3,970 4,595 6,130 9,358 14,129
17 1,184 1,400 1,653 1,948 2,292 2,693 3,159 3,700 4,328 5,054 6,866 10,761 16,672
18 1,196 1,428 1,702 2,026 2,407 2,854 3,380 3,996 4,717 5,560 7,690 12,375 19,673


3) Comparação Juros Simples e Compostos

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O gráfico da Figura 3-I faz a comparação do montante M de um capital C = R$ 100,00 em relação ao período em meses, para juros simples e compostos de i = 0,01 (ou 1%) por mês.

De acordo com fórmulas já vistas,

• Juros simples: M = 100 (1 + 0,01 n)

• Juros compostos: M = 100 (1 + 0,01)n

Essas fórmulas permitem deduzir (e o gráfico demonstra) que, para a mesma taxa por período, juros compostos produzem resultados mais elevados por serem progressões geométricas.


Fig 3-I

Exemplo: (CFC 1º sem. 2003): numa aplicação, sob o regime de capitalização composta, deseja-se dobrar os juros. Considere o tempo de aplicação maior do que 1 (um). O que deverá ser feito é:

a) Dobrar a taxa de juros
b) Dobrar o capital aplicado
c) Dobrar o tempo de aplicação
d) Quadruplicar o tempo de aplicação

Solução: supõe-se uma aplicação simples com um investimento único e um resgate único depois de n períodos com juros i por período. É usada a relação entre valor atual e valor no horizonte conforme (1A):

M = C (1 + i)n. Os juros que se deseja dobrar são a diferença M − C = C (1 + i)n − C = C [(1 + i)n − 1]. Entre as alternativas apresentadas, a única que dobra esse valor é o dobro do capital aplicado (2 C). As demais afetam a expressão exponencial (1 + i)n, que não resulta no dobro. Resposta (b).
Referências
Giek, Kurt. Manual de Fórmulas Técnicas. São Paulo: Hemus.
Simmons, H. A. College Algebra. New York: Macmillan.
Vygodsky, M. Mathematical Handbook. Moscow: Mir Publishers, 1971.

Topo | Rev: Fev/2008