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Matemática Financeira I

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Tópicos: Conceitos Básicos, Juro Simples |

A cobrança de juros não é prática exclusiva da era moderna. Há indícios históricos de que ocorria desde tempos remotos, na era pré-urbana, quando a atividade econômica era fundamentalmente agrícola. Exemplo: alguém, que por algum motivo tinha um animal disponível, podia emprestá-lo a outro que dele precisava. Entretanto, quem emprestou não estava interessado apenas em receber o animal de volta após algum tempo. Desejava também uma parte dos grãos que o animal contribuiu para produzir, ou seja, era a cobrança de juro sobre o empréstimo. Com o advento da moeda e, mais tarde, dos intermediários financeiros (bancos), as coisas se sofisticaram. Mas o conceito fundamental não mudou. Nesta série de páginas são apresentadas algumas informações básicas sobre a matéria.


1) Conceitos Básicos, Juro Simples

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A forma mais elementar de uma operação de empréstimo financeiro é graficamente representada na Figura 1-I: uma pessoa recebe do credor um valor C e, depois de um período de tempo T, paga ao credor um valor M, correspondente ao valor C acrescido dos juros.

C é denominado capital, valor atual ou valor presente.

M é denominado montante ou valor no horizonte.

A taxa de juro i é a proporção de C correspondente ao acréscimo. Assim,

$$M = C + C\ i = C (1 + i) \tag{1A}$$

Fig 1-I

É praxe a indicação dos juros em termos percentuais. Portanto,

$$p = 100\ i\quad\text{ou}\quad i = {p \over 100} \tag{1B}$$
Onde p é o valor do juro em percentual. E a fórmula anterior pode ser escrita:

$$M = C \left(1 + {p \over 100}\right) \tag{1C}$$
Se i é a taxa para um período de referência T, a taxa it para um período diferente t é, no critério dos juros simples, dada pela proporção aritmética:

$$i_t = i {t \over T} \tag{1D}$$
De outra forma, pode-se dizer que, se i é a taxa de juro simples para um período T, a taxa in para n períodos T é dada pelo produto (equivale à substituição t = n T na fórmula anterior):

$$i_n = n\ i \tag{1E}$$

Fig 1-II

Na aplicação dos juros simples, as taxas são, portanto, proporcionais. Se i é a taxa para um período, a relação (1A) para n períodos é assim escrita:

$$M_n = C (1 + n\ i) \tag{1F}$$
Onde Mn é o montante após n períodos.


Exemplo 1-I: uma pessoa tomou R$ 1.000,00 emprestados para pagar em seis meses com juros simples de 2% ao mês. Determinar o valor a ser pago.

A taxa decimal é i = 2/100 = 0,02. Portanto, M6 = 1000 (1 + 6 × 0,02) = R$ 1.120,00.


Na praxe comercial, o período-base é, em geral, o ano. Exemplo: juros de 0,12 ou 12% ao ano. São também comuns as seguintes definições para períodos fracionários:

• Juro exato - usa a proporção correspondente aos dias do ano:

$$i_t = i {t \over 365} \tag{1G}$$
• Juro comercial - considera o ano com 360 dias e o período t deve ser dado em múltiplos de 30 dias (meses):

$$i_t = i {t \over 360} \tag{1H}$$
• Juro ordinário - mesmo critério do comercial, mas o período t pode ser dado em qualquer número de dias.

Os mesmos conceitos de juros são válidos para investimentos, isto é, C pode ser o valor aplicado e M o resgate do investimento com o acréscimo dos juros.


Exemplo 1-II: um capital de R$ 10.000,00 é aplicado por 135 dias em um fundo que rende 12% ao ano. Calcular o montante após esse período considerando juro simples ordinário.

A taxa anual é i = 12/100 = 0,12. Segundo definição anterior, i145 = 0,12 145 / 360 ≈ 0,048. Aplicando (1A), M = 10000 (1 + 0,048) = R$ 10.480,00.


Exemplo 1-III: se uma aplicação rende 12% ao ano, calcular o tempo necessário para dobrar o capital investido considerando juros simples.

Usa-se a relação (1F): Mn = C (1 + n i). Nesse caso, Mn = 2 C e i = 12/100 = 0,12. Substituindo, 2 C = C (1 + 0,12 n). Resolvendo, n ≈ 8,33 anos.
Referências
Giek, Kurt. Manual de Fórmulas Técnicas. São Paulo: Hemus.
Simmons, H. A. College Algebra. New York: Macmillan.
Vygodsky, M. Mathematical Handbook. Moscow: Mir Publishers, 1971.

Topo | Rev: Fev/2008