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Forças: Conceitos Básicos I-20

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Tópicos: Forças Coplanares | Forças Coplanares e Paralelas | Centro de Massa | Equilíbrio de um Ponto Material | Equilíbrio de um Corpo |


1) Forças Coplanares

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Conforme já visto, forças no mesmo plano podem ser reduzidas a uma resultante se o resultado não for um conjugado. Assim, o torque da resultante em relação a um determinado ponto é igual à soma dos torques das forças em relação ao mesmo ponto:

$$\vec \tau = \sum \vec \tau_i \tag{1A}$$
Essa relação permite determinar a posição da linha de ação da resultante para os casos de forças não atuantes no mesmo ponto.

A Figura 1-I (a) dá exemplo de 3 forças atuantes em um corpo. O vetor da resultante R pode ser determinado por qualquer meio válido de soma vetorial. Em (b), está determinado graficamente. Mas a soma vetorial não fornece a posição da linha de ação de R, isto é, a distância d em relação ao ponto de referência O, conforme (c) da figura.

Exemplo de forças coplanares
Fig 1-I

Considerando apenas os módulos dos vetores, o torque das forças F1, F2 e F3 em relação a O é dado por:

∑τ = − d1 F1 − d2 F2 − d3 F3

Os sinais negativos indicam sentido horário. Ver definição de torque na página anterior. E esse valor deve ser igual ao torque da resultante, produzindo a igualdade a seguir, que define a posição da linha de ação:

− d R = − d1 F1 − d2 F2 − d3 F3

Em alguns casos, os cálculos são mais simples com o uso dos componentes dos vetores de forças no sistema de coordenadas X e Y.

Decomposição de forças coplanares
Fig 1-II

Conforme exemplo em (a) da figura acima, com as mesmas forças de (a) da Figura 1-I,

∑τ = d1x F1y − d1y F1x − d2x F2y − d2y F2x − d3y F3x

Conforme (b) da mesma figura,

Rx = F1x + F2x − F3x
Ry = F1y − F2y

Com esses valores, calcula-se R2 = Rx2 + Ry2. E a distância d é determinada por − d R = ∑τ. Esse resultado deve ser idêntico ao anterior.


2) Forças Coplanares e Paralelas

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Se, além de coplanares, as forças são paralelas entre si, os cálculos são mais simples. A figura a seguir dá um exemplo para três forças.

Exemplo de forças coplanares e paralelas
Fig 2-I

Trabalhando apenas com módulos,

R = F1 + F3 − F2
d R = ∑τ = d1 F1 − d2 F2 + d3 F3

Portanto, os valores de R e d são determinados por essas igualdades.


3) Centro de Massa

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Peso de um corpo é a força que a gravidade terrestre exerce sobre ele:

$$\vec P = m \vec g \tag{3A}$$
Onde m é a massa do corpo e $\vec g$ é a aceleração da gravidade, que pode ser considerada constante para pequenas variações de altitude. Pode-se também considerar que, para pequenas distâncias (em razão das dimensões da Terra), pesos são forças verticais e paralelas.

A determinação da posição da linha de ação do peso implica subdividir a massa total do corpo (m) em pequenas massas m1, m2, etc, para cada eixo de coordenadas, de forma que cada massa elementar possa ser considerada um ponto material. Assim,

P = m g = g ∑mi

Para um determinado eixo (x, por exemplo), considerando xcm a posição da resultante peso (equivalente ao d do tópico anterior) e xi as posições das massas, aplicam-se os conceitos anteriores:

xcm P = xcm g ∑mi = ∑τ = x1 m1 g + x2 m2 g + ... = g ∑xi mi

Simplificando e adotando o mesmo procedimento para os demais eixos,

$$x_{cm} = \frac{\sum x_i m_i}{\sum m_i} \\ y_{cm} = \frac{\sum y_j m_j}{\sum m_j} \\ z_{cm} = \frac{\sum z_k m_k}{\sum m_k} \tag{3B}$$
Essas coordenadas definem a posição do centro de massa do corpo. Sob as hipóteses já mencionadas, a linha de ação do peso sempre passa por esse ponto, independente da posição do corpo.

Na definição rigorosa, as massas mi devem ser substituídas por massas elementares dm e, no lugar das somas, deve-se usar integrais. Considerando a relação dm = μ dV (onde μ é massa específica e V volume) e corpo de material homogêneo (μ constante), as igualdades anteriores são modificadas para:

$$x_{cm} = \frac{\int x dV}{V} \\ y_{cm} = \frac{\int y dV}{V} \\ z_{cm} = \frac{\int z dV}{V} \tag{3C}$$
Se um corpo tem um centro de simetria, o centro de massa coincide com ele. Se tem um eixo de simetria, o centro de massa está sobre esse eixo. A Figura 3-I (a) dá alguns exemplos comuns.
Exemplos de centro de massa
Fig 3-I

Em (b) da mesma figura, exemplo de um sistema de partículas em um plano. Considerando os valores de coordenadas em metros, o centro de massa é calculado por:

m = ∑mi = 2 + 5 + 4 + 3 = 14 kg
xcm = ( 2 x 1 + 5 x 3 + 4 x 4 + 3 x 1 ) / 14 = 36 / 14 ≈ 2,6 m
ycm = ( 2 x 4 + 5 x 4 + 4 x 2 + 3 x 1 ) / 14 = 39 / 14 ≈ 2,8 m

Obs: rigorosamente, o peso de um corpo atua no seu centro de gravidade, que coincide com o centro de massa se o campo gravitacional é uniforme (g constante e pesos paralelos, conforme já mencionado). Para a maioria dos casos práticos de objetos próximos da superfície terrestre, essa hipótese pode ser adotada porque as diferenças são desprezíveis.


4) Equilíbrio de um Ponto Material

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Um ponto material (ou partícula) está em equilíbrio estático se a soma das forças atuantes é nula:

$$\sum \vec F_i = 0 \tag{4A}$$
Considerando forças no plano, pode-se escrever essa equação em termos de componentes:

$$\sum \vec F_{iX} = 0 \\ \sum \vec F_{iY} = 0 \tag{4B}$$
A figura abaixo dá exemplo para 3 forças coplanares (F1, F2 e F3) atuantes em um ponto, que fazem entre si os ângulos α1, α2 e α3.

Ponto material sob ação de 3 forças
Fig 4-I

Para determinar a relação entre elas na condição de equilíbrio, pode-se fazer a decomposição e aplicar (4B). Entretanto, para esse caso particular, é mais simples usar (4A), graficamente representada em (b) da figura. Considerando que sin (180 − α) = sin α, pode-se usar a lei dos senos para obter a relação entre forças:

$$\frac{F_1}{\sin \alpha_1} = \frac{F_2}{\sin \alpha_2} = \frac{F_3}{\sin \alpha_3} \tag{4C}$$
No exemplo do plano inclinado de ângulo α da Figura 4-II, uma esfera de peso P é mantida em equilíbrio por um cabo. Deseja-se saber a força F de tração nesse cabo.

Esfera sobre um plano inclinado
Fig 4-II

As forças atuantes na esfera são o peso P, a reação normal do plano N e a tração no cabo F. Pode-se decompor as forças e aplicar (4B), mas, desde que são 3 forças, a relação (4C) é mais simples:

P / sin 90 = N / sin (90 + α) = F / sin (180 − α)

Consideram-se as igualdades trigonométricas:

sin 90 = 1
sin (90 + α) = cos α
sin (180 − α) = sin α

Substituindo e simplificando,

$$F = P \sin \alpha \\ N = P \cos \alpha \tag{4D}$$

5) Equilíbrio de um Corpo

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Para o equilíbrio estático de um corpo, são necessárias duas condições fundamentais:

a) Soma das forças atuantes igual a zero:

$$\sum \vec F_i = 0 \tag{5A}$$
Ou, considerando os componentes no caso de forças coplanares,

$$\sum F_{iX} = 0 \\ \sum F_{iY} = 0 \tag{5B}$$
b) Soma dos torques (momentos) relativos a um ponto qualquer igual a zero:

$$\sum \vec \tau_i = 0 \tag{5C}$$
Quando se usa o termo momento, essa igualdade é normalmente escrita:

$$\sum \vec M_i = 0 \tag{5D}$$
A Figura 5-I dá exemplo de uma viga horizontal apoiada em cutelos, sob ação das forças verticais F1 e F2. Desprezando-se o peso próprio da viga, a questão é calcular as reações nos apoios em função dessas forças e das posições indicadas na figura.

Viga biapoiada sob ação de forças verticais
Fig 5-I

Desde que os apoios são cutelos, as reações são as forças verticais FA e FB. Não há forças horizontais e, portanto, consideram-se apenas:

∑ FiY = 0

Portanto,

FA + FB − F1 − F2 = 0

Reagrupando,

FA + FB = F1 + F2

F1 e F2 são conhecidas por hipótese, mas essa equação por si não resolve, porque há duas incógnitas FA e FB. Aplicando a condição do momento nulo em relação a um ponto de referência O, arbitrariamente escolhido (no caso a extremidade esquerda da viga):

xA FA + xB FB − x1 F1 − x2 F2 = 0

Além de F1 e F2, as distâncias xA, xB, x1 e x2 também são supostamente conhecidas. Portanto, combinando com a igualdade anterior, os esforços na viga são determinados.

Obs: conforme dito, o ponto de referência O é arbitrário, não precisa ser necessariamente o ponto indicado na figura. Uma posição mais conveniente é, por exemplo, no apoio A (ajustando-se as distâncias para as forças). Neste caso, xA = 0, eliminando uma parcela da igualdade anterior.

Entretanto, nem todos os problemas de equilíbrio estático podem ser resolvidos apenas com a aplicação desses dois princípios fundamentais. Se, por exemplo, a viga da figura tiver três e não dois apoios, haverá mais incógnitas do que equações. Situações desse tipo são denominadas hiperestáticas e, nos cálculos, há necessidade de considerar as deformações dos elementos.
Referências
BOUCHÉ, Ch. LEITNER, A. SANS, F. Dubbel - Manual da Construção de Máquinas. São Paulo: Hemus, 1979.
GIEK, Kurt. Manual de Fórmulas Técnicas. São Paulo: Hemus.
HALLIDAY, David. RESNIK, Robert. Física. Rio: Ao Livro Técnico, 1970.
HyperPhysics. http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu.

Topo | Rev: Dez/2007