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Forças: Conceitos Básicos I-1

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Tópicos: Forças Atuantes no Mesmo Ponto | Forças em Corpos Rígidos - Torque | Forças em Corpos Rígidos - Conjugado |


1) Forças Atuantes no Mesmo Ponto

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Um conjunto de forças que atuam num mesmo ponto material, equivale a uma única força resultante, igual à soma vetorial das forças individuais:

$$\vec R = \sum \vec F_i \tag{1A}$$
A Figura 1-I (a) dá um exemplo para três forças que atuam no mesmo ponto A. Em (b) da figura, a soma (isto é, a resultante) é determinada graficamente a partir dessas forças. Em (c), a situação equivalente.

Força resultante
Fig 1-I

Em muitos casos, a determinação da resultante é facilitada pela decomposição em um sistema de coordenadas. Exemplo conforme Figura 1-II.

Determinação da força resultante por decomposição das parcelas
Fig 1-II

Os componentes em cada eixo (X e Y) são vetores no mesmo alinhamento e, portanto, os resultados nesses eixos podem ser calculados de forma simples. E o vetor resultante é determinado como em (c) da figura.


2) Forças em Corpos Rígidos - Torque

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Quando as forças não atuam no mesmo ponto de um corpo, pode ser necessária a consideração dos efeitos dessa condição. A ação de uma força sobre um corpo rígido independe da sua posição ao longo da sua linha de ação. Portanto, os casos (a) e (b) do exemplo da figura a seguir são equivalentes.

Atuação de uma força independe da posição do vetor na linha de ação
Fig 2-I

Há casos em que uma força aplicada produz uma tendência de rotação, conforme exemplo da figura a seguir, isto é, uma força aplicada a um corpo que pode girar em torno de um eixo.

Efeito de rotação em relação a um ponto provocado por uma força
Fig 2-II

A grandeza relacionada, denominada torque ou momento, é dada pelo produto da distância entre o centro de rotação e a linha de ação pela magnitude da força:

$$\tau = d \ F \tag{2A}$$
No Sistema Internacional, a unidade de torque é o Newton metro (N m).

Se for tomada a distância r do ponto O até o ponto A (aplicação da força), a igualdade anterior torna-se $\tau = r \sin \phi \ F$. Isso sugere um produto vetorial e, nessa forma, o torque é assim definido:

$$\vec \tau = \vec r \times \vec F \tag{2B}$$
Ou seja, torque é um vetor igual ao produto vetorial do vetor de posição do ponto de aplicação da força e o vetor dessa força. Da definição de produto vetorial, conclui-se que o vetor torque é perpendicular ao plano dos vetores de posição e da força e o sentido pode ser dado pela regra da mão direita conforme Figura 2-III.

Torque ou momento de uma força em relação a um ponto
Fig 2-III

O produto vetorial anterior pode ser dado pelo determinante de (a) da Figura 2-IV, onde $\vec i$, $\vec j$ e $\vec k$ são vetores unitários. Expandindo de acordo com propriedades dos determinantes,

$$\vec \tau = \vec i (r_y F_z - r_z F_y) + \vec j (r_z F_x - r_x F_z) + \vec k (r_x F_y - r_y F_x) \tag{2C}$$
Desde que os vetores unitários estão sobre cada eixo (X, Y e Z), a igualdade acima dá os componentes do vetor torque.
Determinação do torque pela decomposição da força
Fig 2-IV

Se o sistema de coordenadas é tal que os vetores de posição e da força estão no plano XY, perpendicular ao eixo de rotação Z, o vetor torque está sobre esse eixo e rz = Fz = 0. Assim, a igualdade anterior pode ser simplificada e dada em termos de magnitudes:

$$\tau = r_x F_y - r_y F_x \tag{2D}$$
Em (b) da mesma figura, pode-se ver a situação: o torque de uma força F em relação a um ponto O é igual à soma dos torques de cada componente da força em relação ao mesmo ponto. O sinal negativo ocorre porque as tendências de rotação são opostas.

Para mais de uma força, o torque total é igual à soma dos torques individuais
Fig 2-V

A Figura 2-V dá exemplo de duas forças atuantes no mesmo ponto A. Aplicando a propriedade distributiva do produto vetorial,

$$\vec \tau = \vec r \times \vec R = \vec r \times (\vec F_1 + \vec F_2) \\ \vec \tau = \vec r \times \vec F_1 + \vec r \times \vec F_2 = \vec \tau_1 + \vec \tau_2 \tag{2E}$$
Essa relação pode ser generalizada para um número qualquer de forças no mesmo ponto:

$$\vec \tau = \sum \vec \tau_i \tag{2F}$$

3) Forças em Corpos Rígidos - Conjugado

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Conjugado (ou binário) é o nome dado a um conjunto de das forças paralelas, separadas por uma determinada distância, de mesmo módulo e de sentidos opostos. Na Figura 3-I, o conjugado (F, -F) atua num determinado corpo. Calcula-se o torque total em relação a um ponto genérico O pela soma dos torques de cada força:

$$\vec \tau = \vec \tau_A + \vec \tau_B = \vec r_A \times \vec F - \vec r_B \times \vec F\\\vec \tau = (\vec r_A - \vec r_B) \times \vec F\\ \vec \tau = \Delta \vec r \times \vec F \tag{3A}$$
O vetor $\Delta \vec r$ não depende da posição do ponto O. Assim, pode-se dizer que o torque de um conjugado é sempre o mesmo, independente da posição do ponto de referência. Da igualdade anterior, pode ser deduzido que:

$$\tau = d \ F \tag{3B}$$
Ou seja, a intensidade do torque de um conjugado é o simples produto da intensidade das forças pela distância entre elas.

Forças conjugadas ou binárias
Fig 3-I

A resultante das forças de um conjugado é nula. Mas o efeito não é nulo porque há uma ação de rotação. Assim, a existência do conjugado permite afirmar que a ação de forças não atuantes no mesmo ponto não é necessariamente igual à simples ação da resultante vetorial.

Forças atuantes em um corpo são equivalentes às ações de uma força e de um conjugado
Fig 3-II

Em termos genéricos, qualquer sistema de forças atuantes em um corpo pode ser reduzido a uma força e a um conjugado. A Figura 3-II (a) dá um exemplo clássico: uma força F atua em um ponto A de um corpo a uma determinada distância do ponto de referência O.

Se, como em (b) da figura, é adicionado a O um par de forças F e −F, a ação global não deve mudar porque a resultante é nula e elas estão no mesmo alinhamento. Mas pode-se dizer que isso equivale ao deslocamento da força para o ponto O e ao conjugado $-\vec F, \vec r, \vec F$. Na prática, os casos podem ser:

• Para forças coplanares, se não resultar em um conjugado, as forças poderão sempre ser resumidas em uma única resultante, independente da atuação no mesmo ponto ou não. Isso ocorre porque todos os vetores de deslocamentos e de forças estão no mesmo plano e, portanto, os vetores de torque serão todos perpendiculares à força resultante.

• Para forças no espaço, se não atuam no mesmo ponto, poderá ou não ser necessário um conjugado ao lado da resultante. Isso dependerá de cada caso.
Referências
BOUCHÉ, Ch. LEITNER, A. SANS, F. Dubbel - Manual da Construção de Máquinas. São Paulo: Hemus, 1979.
GIEK, Kurt. Manual de Fórmulas Técnicas. São Paulo: Hemus.
HALLIDAY, David. RESNIK, Robert. Física. Rio: Ao Livro Técnico, 1970.
HyperPhysics. http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu.

Topo | Rev: Dez/2007