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Dinâmica III-50

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Tópicos: Equação do Estado de um Gás II | Equação da Continuidade de um Fluido | Escoamento de um Fluido - Equação de Bernoulli |


1) Equação do Estado de um Gás II

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Seja uma massa de gás contida em um cubo de lado L (Figura 1-I). Adotam-se suposições similares às do tópico Equação do Estado de um Gás I da página anterior, isto é, o choque das moléculas contra as paredes é perfeitamente elástico e as forças são perpendiculares às superfícies.

Da página Dinâmica III-30, nota-se que a primeira parcela do virial para um sistema de partículas é a soma dos produtos escalares:

$$\sum \vec F_i \cdot \vec r_i \tag{1A}$$
Consideram-se, por exemplo, as paredes 1 e 2, perpendiculares ao eixo X: para um ponto A qualquer na parede 1, cada parcela dessa soma de produtos escalares é nula porque os vetores são perpendiculares entre si. Para um ponto B qualquer na parede 2, ela é igual a − Fi L, o que pode ser deduzido pela geometria do caso.

Massa de gás em um cubo de lado L
Fig 1-I

Supondo F a resultante das forças em 2, F = ∑Fi = pL2, onde p é a pressão do gás. No cálculo a seguir, o fator 3 ocorre porque se deseja calcular (1A) para os três pares de paredes (V = L3 é o volume do cubo):

$$\sum \vec F_i \cdot \vec r_i = - 3 \sum (F_i L) = - 3 L \sum F_i = - 3pL^3 = - 3pV \tag{1B}$$

Na página citada, foi dada a equação do virial para um sistema de partículas:

(1C)

$$(E_c)_{médio} = - \tfrac{1}{2}\left(\sum_i \vec F_i \cdot \vec r_i + \sum_{j < k} \vec F_{jk} \cdot \vec r_{jk} \right)_{médio} \tag{1C}$$

Conforme página anterior, a energia cinética média para um sistema de muitas partículas é (1/2)m(vrms)2. Substituindo este último (multiplicado pelo número N de moléculas) e o resultado de (1B),

$$pV = \tfrac{1}{3} Nm(v_{rms})^2 + \tfrac{1}{3} \left(\sum_{j < k} \vec F_{jk} \cdot \vec r_{jk} \right)_{médio} \tag{1D}$$

De maneira similar à do tópico Equação do Estado de um Gás I da página anterior, introduz-se a relação da energia cinética média com a temperatura termodinâmica T com o uso da constante de Boltzmann k: (3/2) k T = (1/2) m ()vrms)2. Substituindo na anterior,

$$pV = N k T + \tfrac{1}{3} \left(\sum_{j < k} \vec F_{jk} \cdot \vec r_{jk} \right)_{médio} \tag{1E}$$

Essa igualdade só difere da encontrada na página anterior pela segunda parcela do lado direito. Se ela é desprezada, o resultado é idêntico:

$$pV = N k T \tag{1F}$$
Isso significa que a dedução por este método é mais completa: a primeira parcela (NkT) é resultado da interação das moléculas com as paredes do reservatório. A segunda parcela provém das forças intermoleculares, que são nulas num gás ideal. Isso pode ser confirmado na prática, porque, para pressões e temperaturas usuais, os gases reais têm comportamento similar ao dos gases ideais. As diferenças são significativas para pressões altas ou temperaturas baixas, casos em que as moléculas estão mais próximas entre si e as forças mútuas se tornam maiores.


2) Equação da Continuidade de um Fluido

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Seja, conforme Figura 2-I, um duto de seção circular variável com um fluxo de um fluido qualquer. Consideram-se as grandezas a seguir.

D: diâmetro (p/ duto de seção circular)
m: massa de uma porção de fluido
μ: massa específica do fluido
S: área de uma seção transversal do duto
t: tempo
v: velocidade média do fluido em uma seção do duto
V: volume de uma porção de fluido
x: posição ao longo do eixo longitudinal do duto

Numa posição qualquer, a massa que passa por unidade de tempo é:

$$\frac{dm}{dt} = \mu \frac{dV}{dt} = \mu S \frac{dx}{dt} = \mu S v \tag{2A}$$

Escoamento de um fluido
Fig 2-I

Se não há ganho nem perda de massa, dm/dt deve ser constante. Então, para as duas seções diferentes conforme figura,

$$\mu_1 S_1 v_1 = \mu_2 S_2 v_2 \tag{2B}$$
Se o duto tem seção circular,

$$\mu_1 D_1^2 v_1 = \mu_2 D_2^2 v_2 \tag{2C}$$
Se o fluido é incompressível, a massa específica é constante e a igualdade é simplificada:

$$S_1 v_1 = S_2 v_2 \tag{2D}$$
Para tubo de seção circular,

$$D_1^2 v_1 = D_2^2 v_2 \tag{2E}$$
Na prática, os líquidos são quase sempre tratados como incompressíveis. Em alguns casos, gases podem ser assim considerados se as variações de pressão são pequenas (como em sistemas de ventilação) e se os erros decorrentes forem aceitáveis. Nota-se que o produto S1 v1 = S2 v2 é a vazão volumétrica do fluido.


3) Escoamento de um Fluido - Equação de Bernoulli

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Considera-se, conforme corte da Figura 3-I, uma porção de espessura dx do escoamento de um fluido através de um duto. Nesse espaço há um determinado número de partículas (moléculas) do fluido, cujo centro de massa CM se desloca com velocidade vCM. A área da seção transversal é S conforme indicado. As pressões em cada lado são p e p+dp. Supõe-se duto de seção circular, com o eixo de simetria coincidente com o eixo X de coordenadas.

A resultante das forças que atuam na porção de fluido é dada por: dFx = p S − (p + dp) S = − dp S. Pode-se multiplicar e dividir por dx: dFx = − (dp/dx) S dx. Desde que S dx = dV (volume da porção), pode-se considerar dp/dx a força devido à pressão por unidade de volume, que é simbolizada por fp. Outras forças externas podem atuar na porção e, de forma análoga, supõe-se fe o seu valor por unidade de volume. Assim,

$$dF_{total} = (f_p + f_e) S dx = \left(-\frac{dp}{dx} + f_e \right) S dx \tag{3A}$$

O movimento de um sistema de partículas é equivalente ao movimento de sua massa total concentrada no centro de massa com velocidade (e aceleração) do mesmo. Sendo μ a massa específica do fluido, a massa da porção (dm) é μ S dx. E a aceleração é dvcm/dt. Portanto,

$$\left(-\frac{dp}{dx} + f_e \right) S dx = dm\ a_{cm} = \mu S dx \frac{dv_{cm}}{dt} \tag{3B}$$

Simplificando,

$$-\frac{dp}{dx} + f_e = \mu \frac{dv_{cm}}{dt} \tag{3C}$$
Supondo que as forças externas são conservativas, pode-se dizer que fe = − dep/dx, onde ep é a energia potencial por unidade de volume. Substituindo,

$$-\frac{d(p + e_p)}{dx} = \mu \frac{dv_{cm}}{dt} \tag{3D}$$
Porção infinitesimal do escoamento de um fluido
Fig 3-I

O regime do escoamento é supostamente estacionário. Isso significa que a velocidade só depende das coordenadas do ponto e não do tempo. Nessas condições, pode-se fazer:

$$\frac{dv_{cm}}{dt} = \frac{dv_{cm}}{dx} \frac{dx}{dt} = v_{cm} \frac{dv_{cm}}{dx} = \frac{d[ (1/2)v_{cm}^2 ]}{dx} \tag{3E}$$

Substituindo na anterior,

$$\mu \frac{d[ (1/2)v_{cm}^2 ]}{dx} = -\frac{d(p + e_p)}{dx} \tag{3F}$$

Para fluido incompressível, μ = constante. Assim,

$$\frac{d[ (1/2) \mu v_{cm}^2 + p + e_p]}{dx} = 0 \tag{3G}$$

Desde que derivada é nula, a expressão entre colchetes é invariável. Se a energia potencial é devido à ação gravitacional, Ep = m g h, onde m é a massa, g é a aceleração da gravidade e h a altura. E a energia potencial por unidade de volume é ep = m g h / V. Mas m / V = μ (massa específica). Assim, ep = μ g h. Substituindo na equação anterior e usando simplesmente v no lugar de vCM,

$$p + \mu g h + \tfrac{1}{2} \mu v^2 = \text{constante} \tag{3H}$$

Essa é a equação de Bernoulli para o escoamento de um fluido incompressível ideal. Pode ser entendida como a conservação da energia aplicada ao caso, com as parcelas representando:

p: energia por volume associada à pressão do fluido
μ g h: energia potencial por unidade de volume
μ v2 / 2: energia cinética por unidade de volume

Escoamento com mudança de seção
Fig 3-II

A medição de vazão de fluidos é um exemplo de aplicação da equação de Bernoulli. Seja, conforme Figura 3-II, um fluido incompressível que escoa por um duto horizontal com um estrangulamento. Desde que não há variação de energia potencial, a parcela μ g h é eliminada e a equação de Bernoulli é simplificada: p1 + μ v12 / 2 = p2 + μ v22 / 2.

Supostamente são conhecidas a massa específica μ do fluido, as áreas das seções transversais (S1 e S2) e as pressões p1 e p2, que são lidas nos manômetros. Isso estabelece, portanto, uma relação entre as velocidades v1 e v2. E a equação da continuidade, dada no tópico Equação da Continuidade de um Fluido desta página, permite uma outra relação entre as velocidades: S1 v1 = S2 v2.

Obtém-se então um conjunto de duas equações e duas incógnitas, que pode ser resolvido. Uma vez calculada as velocidades, a vazão volumétrica é dada pelo simples produto S1 v1 ou S2 v2.

v2 = v1 S1 / S2

Então,

p1 + μ v12 / 2 = p2 + μ v12 S12 / 2 S22

p1 − p2 = (1/2) μ v12 [ (S1/S2)2 − 1 ]

Reagrupando,

$$v_1^2 = 2 \frac{p_1 - p_2}{\mu [(\frac{S_1}{S_2})^2 - 1 ]} \tag{3I}$$
A vazão volumétrica V é dada por:

$$V = S_1 v_1 = S_2 v_2 \tag{3J}$$
Referências
BOUCHÉ, Ch. LEITNER, A. SANS, F. Dubbel - Manual da Construção de Máquinas. São Paulo: Hemus, 1979.
GIEK, Kurt. Manual de Fórmulas Técnicas. São Paulo: Hemus.
HALLIDAY, David. RESNIK, Robert. Física. Rio: Ao Livro Técnico, 1970.
HyperPhysics. http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu.

Topo | Rev: Jan/2018