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Dinâmica III-30

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Tópicos: Teorema do Virial para uma Partícula | Teorema do Virial para um Sistema de Partículas |


1) Teorema do Virial para uma Partícula

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Seja, conforme Figura 1-I, uma partícula de massa m sujeita à ação de determinada força, com velocidade e posição dada pelos vetores indicados. Define-se uma grandeza X igual ao produto da massa pelo produto escalar dos vetores velocidade e posição:

$$X = m \vec v \cdot \vec r \tag{1A}$$
Omitindo a demonstração, a derivada dessa função em relação ao tempo pode ser determinada e simplificada, considerando propriedades da derivada de um produto e as definições de aceleração, velocidade, força e energia cinética (Ec):

$$\frac{dX}{dt} = \vec F \cdot \vec r + 2 E_c \tag{1B}$$
Partícula sujeita a uma força F e com velocidade v em um sistema S
Fig 1-I

Determina-se agora o valor médio:

$$\left(\frac{dX}{dt}\right)_{médio} = \tfrac{1}{t} \int_0^t \frac{dX}{dt} dt = \frac{X(t) - X(0)}{t} \tag{1C}$$

Desde que os valores de posição e velocidade são finitos, pode-se deduzir que essa média tende a diminuir com o tempo, chegando a nulo no limite $t \rightarrow \infty$. Então, em termos de valores médios, a relação (1B) pode ser expressa por:

$$(E_c)_{médio} = - \tfrac{1}{2} (\vec F \cdot \vec r)_{médio} \tag{1D}$$
A expressão do lado direito dessa igualdade é denominada virial da partícula

Supõe-se que a partícula está sujeita apenas à ação de uma força central e conservativa, conforme Figura 1-II. Na página Dinâmica I-30 foi dado que, para esse caso, deve-se ter F = − dEp / dr, onde Ep é a energia potencial. Em termos vetoriais, considerando um vetor unitário na direção do vetor de posição, pode-se escrever:

$$\vec F = - \frac{dE_p}{dr} \vec u_r \tag{1E}$$
Partícula sujeita a uma força central e conservativa
Fig 1-II

Substituindo em (1D), considerando que $\vec u_r \cdot \vec r = r$, tem-se:

$$(E_c)_{médio} = \tfrac{1}{2}\left(r \frac{dEp}{dr}\right)_{médio} \tag{1F}$$
Exemplo prático: um sistema massa-mola que oscila em relação à posição de equilíbrio conforme Figura 1-III. Do estudo de vibrações mecânicas, tem-se a equação diferencial do deslocamento x em relação ao tempo: m d2x/dt2 = − kx, onde k é a constante da mola. A solução é x = A sin (ωt + ϕ), onde A é a amplitude da oscilação, ω = √(k/m) é a velocidade angular e ϕ, o ângulo inicial do deslocamento.

Exemplo: oscilação de um conjunto massa e mola
Fig 1-III

Supondo por simplicidade ϕ = 0, a igualdade do deslocamento se reduz a x = A sin ωt. Na página Dinâmica I-30, foi visto que a energia potencial de uma mola deformada de x é Ep = (1/2) k x2. Substituindo x pelo valor da igualdade anterior,

Ep = (1/2) k A2 sin2 ωt

Da mesma igualdade (deslocamento) pode-se ter a velocidade v = dx/dt = A ω cos ωt. E a energia cinética é calculada por Ec = (1/2) m v2 = (1/2) m A2 ω2 cos2ωt = (1/2) m A2 [√(k/m)]2 cos2 ωt. Simplificando,

Ec = (1/2) k A2 cos2ωt

Para este exemplo, r da igualdade (1F) equivale à distância x (a força atuante é central porque passa sempre por um mesmo ponto - qualquer ponto - na linha ao longo do eixo da mola). Portanto,

(Ec)médio = (1/2) [ x dEp/dx ]médio

Mas dEp/dx = d [ (1/2) k x2 ]/dx = k x. Substituindo,

(Ec)médio = (1/2) [ k x2 ]médio = (1/2) [ k A2 sin2ωt ]médio

Este último valor é igual à energia potencial já calculada anteriormente. Portanto, neste caso ocorre (Ec)médio = (Ep)médio. Nota-se que o resultado é coerente com os valores encontrados para a energia cinética e para a energia potencial:

Ec = (1/2) k A2 cos2ωt

Ep = (1/2) k A2 sin2ωt

Para um tempo t longo, os valores médios de cos2ωt e de sin2ωt são idênticos, o que confirma a igualdade anterior.


2) Teorema do Virial para um Sistema de Partículas

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O conceito de virial pode ser estendido para um sistema de várias partículas. Por simplicidade, considera-se inicialmente um conjunto de duas partículas de massas m1 e m2 conforme indicado na Figura 2-I. Então, a grandeza X do tópico anterior é definida de forma similar:

$$X = m_1 \vec v_1 \cdot \vec r_1 + m_2 \vec v_2 \cdot \vec r_2 \tag{2A}$$
Duas partículas em um sistema S
Fig 2-I

Para a demonstração, aqui também omitida, deve-se considerar os mesmos aspectos mencionados no tópico anterior. Adicionalmente, deve-se levar em conta a força de interação entre as partículas. O resultado é:

$$(E_c)_{médio} = - \tfrac{1}{2}(\vec F_1 \cdot \vec r_1 + \vec F_2 \cdot \vec r_2 + \vec F_{12} \cdot \vec r_{12} )_{médio} \tag{2B}$$

A relação pode ser generalizada para um número qualquer de partículas:

$$(E_c)_{médio} = - \tfrac{1}{2}\left(\sum_i \vec F_i \cdot \vec r_i + \sum_{j < k} \vec F_{jk} \cdot \vec r_{jk} \right)_{médio} \tag{2C}$$

A expressão do lado direito é denominada virial do sistema de partículas.
Referências
BOUCHÉ, Ch. LEITNER, A. SANS, F. Dubbel - Manual da Construção de Máquinas. São Paulo: Hemus, 1979.
GIEK, Kurt. Manual de Fórmulas Técnicas. São Paulo: Hemus.
HALLIDAY, David. RESNIK, Robert. Física. Rio: Ao Livro Técnico, 1970.
HyperPhysics. http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu.

Topo | Rev: Jan/2018