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Dinâmica III-20

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Tópicos: Energia Interna de um Sistema de Partículas | Choque (elástico / inelástico) de Partículas | Alguns Exemplos de Choque Elástico | Exemplo de Choque Inelástico: pêndulo balístico |


1) Energia Interna de um Sistema de Partículas

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Na página anterior, considerando por simplicidade sistema de duas partículas, foi dada a relação entre a variação de energia cinética (Δ Ec) com o trabalho de forças externas (Wext) e o de forças internas (Wint):

$$\Delta E_c = W_{ext} + \int \vec F_{12} \cdot d\vec r_{12}$$
Reagrupando,

$$\Delta E_c - \int \vec F_{12} \cdot d\vec r_{12} = W_{ext}$$
A expressão da integral é dependente apenas da força entre as partículas e da distância entre elas. Isso sugere uma variação de energia potencial e pode-se então definir:

$$U_{pro} = E_c + E_p \tag{1A}$$
Portanto,

$$\Delta U_{pro} = W_{ext} \tag{1B}$$
A grandeza Upro é denominada energia própria do sistema e a igualdade é o princípio da conservação da energia aplicado ao sistema de partículas, ou seja, o trabalho executado por forças externas é igual à variação de energia própria do sistema.

A parcela de energia potencial não depende da origem das coordenadas porque é dada em função da distância entre partículas. A parcela da energia cinética é dependente da velocidade e, portanto, pode variar de acordo com o sistema de coordenadas. Se o centro de massa (cm) é escolhido como origem, a soma de ambas é denominada energia interna do sistema:

$$U_{int} = E_{c|cm} + E_p \tag{1C}$$
Em geral, quando se faz referência à energia de um sistema, supõe-se sua energia interna. Para um sistema isolado, Wext = 0 e, portanto, a energia interna e a energia própria são constantes.

De forma similar às relações vistas, em página anterior, para o momento angular, pode-se estabelecer a relação entre energia própria e interna:

$$U_{pro} = U_{int} + \tfrac{1}{2} M v_{cm}^2 \tag{1D}$$
Onde M é a massa total do sistema e vcm a velocidade do centro de massa. A demonstração matemática é simples e aqui não é dada.


2) Choque (elástico / inelástico) de partículas

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Considera-se choque a interação entre partículas, que resulta em troca de momento, massa ou energia. Nesse conceito, o contato físico não é essencial. Pode ocorrer ou não. Exemplo: uma partícula pode sofre ação elétrica, magnética ou gravitacional de outra sem toque mútuo. Em geral, o choque sem contato é chamado de desvio.

A Figura 2-I dá a representação gráfica de um choque genérico entre duas partículas. Considerando um sistema formado por essas partículas, nota-se que não há ação de forças externas e, portanto, momento e energia são constantes. As massas não são necessariamente as mesmas depois do choque. Pode haver troca de massa entre as partículas. Isso é mais usual no caso de partículas atômicas.

Para a conservação dos momentos lineares,

$$\vec b_1 + \vec b_2 = \vec b'_1 + \vec b'_2 \tag{2A}$$
Para a conservação de energia,

$$E_c + E_p = E'_c + E'_p \tag{2B}$$
Choque genérico entre duas partículas
Fig 2-I

Reagrupando a igualdade, obtém-se a grandeza E, igual a variação da energia cinética e da energia potencial:

$$E = E'_c - E_c = E_p + E'_p \tag{2C}$$
Representando a energia cinética em termos de massa e velocidade,

$$E = \tfrac{1}{2}m_1' v_1'^2 + \tfrac{1}{2}m_2' v_2'^2 - \tfrac{1}{2}m_1v_1^2 - \tfrac{1}{2}m_2v_2^2 \tag{2D}$$

• Choque elástico ocorre quando E = 0, ou seja, não há variação de energia cinética.

• Choque inelástico ocorre quando E ≠ 0, podendo haver decréscimo ou acréscimo de energia cinética (E < 0 ou E > 0). Em ambos os casos, a variação é compensada pela variação da energia potencial interna para obedecer ao princípio da conservação da energia.

Caso particular: choque elástico (E=0) com m2 em repouso conforme (a) da Figura 2-II, massas iguais e sem troca de massa após choque. Assim, $m = m_1' = m_2' = m_1 = m_2$. Substituindo em (2D), considerando que v2 = 0, multiplicando tudo por m e reagrupando,

$$m^2 v_1^2 = m^2 v_1'^2 + m^2 v_2'^2$$
Desde que o produto da massa pela velocidade é o momento linear b, tem-se:

$$b_1^2 = b_1'^2 + b_2'^2 \tag{2E}$$
Após o choque, há uma situação como em (b). Desde que b2 = 0, a relação (2A) é simplificada:

$$\vec b_1 = \vec b'_1 + \vec b'_2 \tag{2F}$$
Choque com uma das massas em repouso
Fig 2-II

Da álgebra vetorial, pode-se expressar o módulo da soma de (2F) na forma:

$$b_1^2 = b_1'^2 + b_2'^2 + 2 \vec b_1' \cdot \vec b_2' \tag{2G}$$
Dessa relação e de (2E), conclui-se que o produto escalar dos vetores de momento linear após o choque é nulo. Se nenhum é nulo, o ângulo entre eles deve ser 90°. Exemplo prático é a trajetória após o choque de duas bolas em uma mesa de bilhar, conforme figura a seguir.

Exemplo de choque elástico de duas massas iguais com uma delas em repouso
Fig 2-III

A suposição de m2 em repouso, apesar de ser um caso particular, pode ser estendida para qualquer outro. Basta considerar o sistema de coordenadas fixo em m2 e ajustar os demais parâmetros para essa condição.


3) Alguns Exemplos de Choque Elástico

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As figuras deste tópico dão exemplos de choques elásticos frontais, isto é, a geometria do choque é tal que os movimentos estão no mesmo alinhamento e uma das massas em repouso. Assim, é possível usar apenas valores escalares nas expressões. Supõe-se também que as massas de cada partícula permanecem inalteradas após o choque (m1 = m1' e m2 = m2').

Choque elástico de duas massas iguais com uma delas em repouso
Fig 3-I

Choque elástico de duas massas diferentes com a menor em repouso
Fig 3-II

Choque elástico de duas massas diferentes com a maior em repouso
Fig 3-III

Conservação de momento:

$$m_1 v_1 = m_1 v_1' + m_2 v_2' \tag{3A}$$
Conservação de energia:

$$\tfrac{1}{2} m_1 v_1^2 = \tfrac{1}{2} m_1 v_1'^2 + \tfrac{1}{2} m_2 v_2'^2 \tag{3B}$$
Considerando conhecidos v1, m1 e m2, as relações (3A) e (3B) formam um sistema de equações para as velocidades após o choque. Resolvendo,

$$v_1' = \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2} v_1 \\ v_2' = \frac{2 m_1}{m_1 + m_2} v_1 \tag{3C}$$
As Figuras 3-I, 3-II e 3-III dão exemplos desses resultados para diferentes relações entre m1 e m2.


4) Exemplo de Choque Inelástico: pêndulo balístico

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Neste caso, as massas permanecem unidas após o choque. O arranjo é, na prática, usado para medição da velocidade de projéteis disparados por armas.

Na Figura 4-I (a), um projétil de massa m1 e velocidade v1 é disparado contra um pêndulo em repouso de massa m2. Logo após o choque, visto em (b) da figura, o projétil penetra no pêndulo, mas não o atravessa, formando um corpo único com velocidade v'.
Pêndulo Balístico
Fig 4-I

A energia cinética não se conserva porque uma parte é transformada em calor pelo atrito do projétil com o material do pêndulo. Mas pode-se usar a lei da conservação do momento para determinar a relação entre v1 e v':

$$m_1 v_1 + m_2 v_2 = m' v'$$
Desde que v2 = 0 e também m' = m1 + m2,

$$v_1 = \frac{m_1 + m_2}{m_1} v'$$
Entre (b) e (c), há uma massa única sob ação de força conservativa (gravidade). Assim, a conservação da energia é expressa pela soma da energia cinética com a energia potencial:

$$\tfrac{1}{2} m' v'^2 + 0 = 0 + m' g h$$
Isolando v' e substituindo na anterior,

$$v_1 = \frac{m_1 + m_2}{m_1} \sqrt{2gh} \tag{4A}$$
Portanto, a velocidade do projétil é determinada em função de parâmetros medidos ou supostamente conhecidos:

g: aceleração da gravidade.
h: altura máxima alcançada pelo pêndulo.
m1: massa do projétil.
m2: massa do pêndulo.
Referências
ALONSO, Marcelo. FINN, Edward. Fundamental University Physics. Addison-Wesley, 1967.
BOUCHÉ, Ch. LEITNER, A. SANS, F. Dubbel - Manual da Construção de Máquinas. São Paulo, Hemus, 1979.
GIEK, Kurt. Manual de Fórmulas Técnicas. São Paulo, Hemus.
HALLIDAY, David. RESNIK, Robert. Física. Rio, Ao Livro Técnico, 1970.
HYPERPHYSICS. http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu.

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