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Dinâmica III-12

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Tópicos: Momento Angular de um Sistema de Partículas | Energia Cinética de um Sistema de Partículas |


1) Momento Angular de um Sistema de Partículas

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Na página Dinâmica I-20 já foi dada a definição de momento angular L para uma partícula:

$$\vec L = \vec r \times \vec b = m( \vec r \times \vec v) \tag{1A}$$
Visto também que:

$$\frac{d\vec L}{dt} = \vec r \times \vec F = \vec \tau \tag{1B}$$
Nessas relações, r posição, b momento linear, m massa, v velocidade, F força, τ torque.

Seja um sistema de duas partículas sujeitas a forças internas e externas conforme figura a seguir. Os torques atuantes em cada partícula são:

$$\vec \tau_1 = d\vec L_1 / dt\\ \vec \tau_2 = d\vec L_2 / dt$$
Sistema de duas Partículas Sujeitas a Forças Internas e Externas
Fig 1-I

$$\vec \tau_1 + \vec \tau_2 = \frac{d(\vec L_1 + \vec L_2)}{dt} \tag{1C}$$
A força total em cada partícula é igual à soma da interna com a externa. Considerando (1B),

$$\vec \tau_1 = \vec r_1 \times (\vec F_1 + \vec F_{12}) = \vec r_1 \times \vec F_1 + \vec r_1 \times \vec F_{12}\\\vec \tau_2 = \vec r_2 \times (\vec F_2 + \vec F_{21}) = \vec r_2 \times \vec F_2 + \vec r_2 \times \vec F_{21}$$

Somando as igualdades, considerando que $\vec F_{12} = \vec F_{21}$,

$$\vec \tau_1 + \vec \tau_2 = \vec r_1 \times \vec F_1 + \vec r_2 \times \vec F_2 + (\vec r_2 - \vec r_1) \times \vec F_{21}$$

A última parcela da soma é nula porque o vetor da diferença de posição entre as duas partículas tem o mesmo alinhamento da força entre elas. E, combinando com (1C),

$$\vec \tau_1 + \vec \tau_2 = \frac{d(\vec L_1 + \vec L_2)}{dt} = \vec r_1 \times \vec F_1 + \vec r_2 \times \vec F_2 = \vec \tau_{1 ext} + \vec \tau_{2 ext} \tag{1D}$$

Generalizando para um número qualquer de partículas,

$$\frac{d \vec L}{dt} = \vec \tau_{ext}\\ \vec L = \sum \vec L_i\\ \vec \tau_{ext} = \sum \tau_{i \ ext} \tag{1E}$$
Portanto, a variação do momento angular total de um conjunto de partículas é igual à soma dos torques exercidos pelas forças externas em cada partícula.

Seja agora um sistema isolado, isto é, sem forças externas. Nesse caso, o torque externo total é nulo e, da igualdade anterior, pode-se concluir que:

$$\vec L = \sum \vec L_i = \mathrm {const} \tag{1F}$$
Portanto, o momento angular total de um sistema isolado é constante.

Para o centro de massa do sistema, conforme visto na página anterior, sejam as grandezas:

$\vec F_{ext}$: soma das forças externas aplicadas em cada partícula
$\vec L_c$: momento angular em relação ao centro de massa
$\vec L_{ext}$: momento angular relativo à origem
$m_c$: massa total do sistema
$\vec r_c$: posição do centro de massa em relação à origem
$\vec \tau_c$: torque externo relativo ao centro de massa
$\vec \tau_{ext}$: torque externo relativo à origem
$\vec v_c$: velocidade do centro de massa em relação à origem

As seguintes igualdades podem ser deduzidas:

$$\vec L_{ext} = \vec L_c + m_c \vec r_c \times \vec v_c \tag{1G}$$
$$\vec \tau_{ext} = \vec \tau_{c} + \vec r_c \times \vec F_{ext} \tag{1H}$$
$$\frac{d \vec L_c}{dt} = \vec \tau_c \tag{1I}$$

2) Energia Cinética de um Sistema de Partículas

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Por simplicidade, considera-se um conjunto de duas partículas conforme figura a seguir. Cada partícula sofre ação de forças internas e externas e as trajetórias são supostamente as curvas 1 e 2. Assim, as velocidades de cada são vetores tangentes a essas curvas.

Sistema Genérico de Duas partículas
Fig 2-I

Num intervalo infinitesimal, os deslocamentos das partículas são vetores dr1 e dr2, também tangentes às curvas. Desde que trabalho é o produto escalar de força e deslocamento, pode-se calcular para cada partícula:

$$W_1 =m_1 \vec a_1 \cdot d\vec r_1 = (\vec F_1 + \vec F_{12}) \cdot d\vec r_1 = \vec F_1 \cdot d\vec r_1 + \vec F_{12} \cdot d\vec r_1 \\ W_2 =m_2 \vec a_2 \cdot d\vec r_2 = (\vec F_2 + \vec F_{21}) \cdot d\vec r_2 = \vec F_2 \cdot d\vec r_2 + \vec F_{21} \cdot d\vec r_2$$

Onde a1 e a2 são os vetores de aceleração de cada partícula (não indicados na figura). E, considerando a definição de aceleração e velocidade,

$$\vec a_1 \cdot d\vec r_1 = \frac{d\vec v_1}{dt} \cdot d\vec r_1 = d\vec v_1 \cdot \frac{d\vec r_1}{dt} = d\vec v_1 \cdot \vec v_1 = dv_1\ v_1 \\ \vec a_2 \cdot d\vec r_2 = \frac{d\vec v_2}{dt} \cdot d\vec r_2 = d\vec v_2 \cdot \frac{d\vec r_2}{dt} = d\vec v_2 \cdot \vec v_2 = dv_2\ v_2$$

Considera-se também que,

$$\vec F_{12} = - \vec F{21} \\ d\vec r_1 - d\vec r_2 = d\vec r_{12}$$
Combinando essas igualdades, simplificando e integrando,

$$\Delta \big[\tfrac{1}{2}m_1 v_1^2 + \tfrac{1}{2}m_2 v_2^2 \big] = \int (\vec F_1 d\vec r_1 + \vec F_2 d\vec r_2) + \int \vec F_{12} d\vec r_{12} \tag{2A}$$

Já visto em Dinâmica I-25 que o termo (1/2) m v2 é a energia cinética da partícula, simbolizada por Ec. E a primeira integral do lado direito da igualdade é o trabalho das forças externas e a segunda, das forças internas. Pode-se, portanto, escrever:

$$\Delta E_c = W_{ext} + W_{int} \tag{2B}$$
Generalizando para um número qualquer de partículas, pode-se dizer que a variação da energia cinética de um sistema de partículas é igual à soma do trabalho das forças externas com o trabalho das forças internas.
Referências
ALONSO, Marcelo. FINN, Edward. Fundamental University Physics. Addison-Wesley, 1967.
BOUCHÉ, Ch. LEITNER, A. SANS, F. Dubbel - Manual da Construção de Máquinas. São Paulo, Hemus, 1979.
GIEK, Kurt. Manual de Fórmulas Técnicas. São Paulo, Hemus.
HALLIDAY, David. RESNIK, Robert. Física. Rio, Ao Livro Técnico, 1970.
HYPERPHYSICS. http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu.

Topo | Rev: Jan/2018