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Dinâmica III-10

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Tópicos: Sistema de Partículas |


1) Sistema de Partículas

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Na figura a seguir, cada partícula genérica i do sistema S é caracterizada pelas grandezas:

Massa: $m_i$
Vetor de posição: $\vec r_i$
Vetor velocidade: $\vec v_i$

Por definição, a posição do centro de massa do sistema é dada por:

$$\vec r_c = \frac{1}{m_c} \sum m_i \vec r_i \tag{1A}$$
Onde:

$$m_c = \sum m_i \tag{1B}$$
Sistema de Partículas e Centro de Massa do Sistema
Fig 1-I

Também por definição, a velocidade é dada pela derivação do vetor posição em relação ao tempo. Pela derivação de (1A), obtém-se a velocidade do centro de massa:

$$\vec v_c = \frac{1}{m_c} \sum m_i \vec v _i \tag{1C}$$
O momento linear de cada partícula é, por definição,

$$\vec b_i = m_i \vec v_i \tag{1D}$$
Substituindo na anterior, obtém-se:

$$\vec b_c = \sum \vec b_i = m_c \vec v_c \tag{1E}$$
Portanto, o sistema se comporta como uma única partícula de massa mc, localizada no centro de massa e com velocidade vc. Pode-se ainda concluir:

• se o sistema de coordenadas tem origem no centro de massa e se move com ele, vc = 0 e, portanto, bc = 0.

• se o sistema é isolado, conforme visto em Dinâmica I-10, $\vec b_c = \text{constante}$.

Em (b) da Figura me1-be01, há a analogia gráfica dessas relações. Um corpo real pode ser considerado um sistema de partículas elementares. Se é dito velocidade de um objeto por exemplo, em geral fica implícito que ela se refere a $\vec v_c$.

Supõe-se agora que o sistema S interage com outro sistema S' como em (a) da figura a seguir. É suposto também que os dois sistemas em conjunto formam um sistema isolado. Por exemplo, S pode ser o sistema solar e S' o restante do Universo.

Interação de dois Sistemas de Partículas
Fig 1-II

Se o conjunto é um sistema isolado,

$$\vec b_{cs} + \vec b_{cs'} = \mathrm {constante} \tag{1F}$$
Derivando em relação ao tempo e aplicando as relações entre momento linear, força e aceleração (Dinâmica I-10),

$$\frac{d \vec b_{cs}}{dt} = m_{cs} \vec a_{cs} = \vec F_{cs} \tag{1G}$$
Portanto o sistema S se movimenta como uma partícula de massa mcs sujeita à ação da força $\vec F_{cs}$, que é a força externa aplicada ao sistema.

Supõe-se agora que o sistema S contém duas partículas, como em (b) da mesma figura. Deve-se ter:

$$\vec F_{12} = - \vec F_{21}$$
A resultante das forças que atuam em cada partícula deve ser igual a $d \vec b / dt$ conforme visto em Dinâmica I-10:

$$\frac{d\vec b_1}{dt} = \vec F_1 + \vec F_{12}\\\frac{d\vec b_2}{dt} = \vec F_2 + \vec F_{21}$$
Considerando a igualdade anterior,

$$\frac{d\vec b}{dt} = \frac{d\vec b_1}{dt} + \frac{d\vec b_2}{dt} = \vec F_1 + \vec F_2$$
Generalizando para um número qualquer de partículas,

$$\frac{d\vec b}{dt} = \vec F_{ext} = \sum \vec F_i \tag{1H}$$
Onde $\vec F_i$ é a força externa atuante em cada partícula. Pode-se então dizer que a força externa total é igual à soma das forças externas em cada partícula.

Exemplo prático: uma granada é arremessada e explode no ar. Desprezam-se a resistência do ar e a perda do material explosivo. Próximo da superfície terrestre, a aceleração da gravidade pode ser considerada constante. Assim, as forças externas atuantes em cada fragmento são as mesmas de antes da explosão e, portanto, o centro de massa dos fragmentos deve seguir a trajetória que havia antes da explosão. Nota-se que, se as distâncias são grandes como em um corpo celeste, isso deixa de ser verdadeiro porque as forças gravitacionais variam significativamente.
Referências
ALONSO, Marcelo. FINN, Edward. Fundamental University Physics. Addison-Wesley, 1967.
BOUCHÉ, Ch. LEITNER, A. SANS, F. Dubbel - Manual da Construção de Máquinas. São Paulo, Hemus, 1979.
GIEK, Kurt. Manual de Fórmulas Técnicas. São Paulo, Hemus.
HALLIDAY, David. RESNIK, Robert. Física. Rio, Ao Livro Técnico, 1970.
HYPERPHYSICS. http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu.

Topo | Rev: Jan/2018