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Dinâmica II-10

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Tópicos: Corpo Rígido | Momento de Inércia | Raio de Giração | Rotação do Corpo Rígido |


1) Corpo Rígido

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Pode ser definido como um corpo em que todos os pontos materiais conservam as distâncias entre si, mesmo sob aplicação de um esforço externo (sólidos reais sempre se deformam sob aplicação de uma carga, mas em muitos casos ela é desprezível).

Corpo Rígido
Fig 1-I

Translação de um corpo rígido ocorre quando todos os seus pontos percorrem trajetórias paralelas (exemplo em A da Figura 1-I). Rotação de um corpo rígido ocorre quando todos os seus pontos percorrem trajetórias circulares (exemplo em B da Figura 1-I) . Em C da mesma figura, exemplo do caso mais genérico, isto é, combinação de translação e rotação.


2) Momento de Inércia

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Seja, conforme Figura 2-I, um corpo rígido que gira em torno do eixo y. Para uma porção elementar de massa dm, o momento angular é dado pelo produto dessa massa pelo produto vetorial dos vetores de posição e de velocidade tangencial:

$$d\vec L = dm \ \vec R \times \vec v \tag{2A}$$
Em termos de magnitudes, R = r/sin α e também v = ω r. E, desde que os vetores de posição e de velocidade tangencial são ortogonais,

dL = dm r ω r / sin α = dm r2 ω / sin α

Determinando o componente no eixo y,

dLy = dL cos(90 − α) = dL sin α = (dm r2 ω / sin α) sin α = dm r2 ω

Assim, o componente y do momento angular pode ser determinado por integração. Seja a grandeza Iy definida por:

$$I_y = \int r^2 dm \tag{2B}$$
Então,

$$L_y = I_y \omega \tag{2C}$$
A grandeza Iy é denominada momento de inércia de massa do corpo em relação ao eixo y.

Momento de Inércia
Fig 2-I

O momento de inércia depende da posição do eixo no corpo, da sua forma geométrica, da massa e da distribuição de massa (exemplo: dois corpos de mesmo material e mesma forma podem ter momentos diferentes em relação ao mesmo eixo se um for homogêneo e outro tiver massa mais concentrada em um local).

De modo similar, pode-se calcular os momentos de inércia em relação aos demais eixos (Ix e Iz) para determinação de Lx e Lz e, em consequência, do momento angular total L, que não é necessariamente paralelo ao eixo de rotação. Entretanto, pode-se demonstrar que, para qualquer corpo, existem pelo menos 3 eixos perpendiculares entre si para os quais o momento angular é paralelo ao eixo. Esses eixos são denominados eixos principais de inércia {X0, Y0, Z0}. E os respectivos momentos de inércia são os momentos principais de inércia {Ix0, Iy0, Iz0}. Para um eixo principal, vale portanto a igualdade vetorial:

$$\vec L = I \vec \omega \tag{2D}$$
Se um corpo homogêneo tem um eixo de simetria. ele é um eixo principal de inércia. Exemplo: para uma esfera homogênea, qualquer eixo que passa pelo centro é um eixo principal de inércia.

Para rotação fora de um eixo principal, o momento angular é dado por:

$$\vec L = I_{x0} \vec \omega_{x0} + I_{y0} \vec \omega_{y0} + I_{z0} \vec \omega_{z0} \tag{2E}$$
Onde $\vec \omega_{*0}$ são as projeções do vetor velocidade angular nos eixos principais.

A unidade do momento de inércia de massa no Sistema Internacional é o kg m2. Existe conceito semelhante de momento de inércia aplicado a superfícies. Desde que superfícies não têm massa, a unidade elementar é uma área e o momento de inércia tem como unidade m4 (na prática, é mais usado cm4).

Teorema de Steiner (sem demonstração): seja um corpo de massa M que tem um momento de inércia I' em relação a um eixo y'. Então, o momento de inércia I em relação a um eixo paralelo y situado a uma distância d de y' é dado por:

$$I = I' + M d^2 \tag{2F}$$

3) Raio de Giração

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Seja um corpo de massa M e momento de inércia I em relação a determinado eixo. O raio de giração K pode ser interpretado como a distância em relação a esse eixo que uma massa concentrada M produziria o mesmo momento de inércia. É definido por:

$$K = \sqrt{\frac{I}{M}} \tag{3A}$$
Para corpos homogêneos, o raio de giração depende apenas de parâmetros geométricos. É uma forma prática de se especificar indiretamente o momento de inércia, de acordo com a forma do corpo. Na tabela a seguir, são dados os raios de giração para algumas formas comuns, considerados em relação aos eixos de simetria indicados.

Tabela 2-I
Raio de giração - Anel Raio de giração - Barra fina
Raio de giração - Chapa fina Raio de giração - Cilindro
Raio de giração - Disco fino Raio de giração - Esfera
Raio de giração - Paralelepípedo


4) Rotação do Corpo Rígido

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Seja a relação já vista entre torque e momento angular, com aplicação da igualdade (2D):

$$\vec T = \frac{d \vec L}{dt} = I \frac{d \vec \omega}{dt} = I \vec \alpha \tag{4A}$$
Ou seja, o torque é dado pelo produto do momento de inércia pela aceleração angular $\vec \alpha$. A igualdade é similar à relação força e aceleração no movimento de translação, $\vec F = m \vec a$.

A tabela a seguir dá uma comparação de algumas grandezas e fórmulas nos dois movimentos, válidas para rotação em torno de um eixo principal, que é a situação prática mais comum.

Tabela 3-I
Translação Rotação
Momento linear
$\vec b = m \vec v$
Momento angular
$\vec L = I \vec \omega$
Força
$\vec F = d\vec b / dt$
Torque
$\vec T = d\vec L / dt$
Força e
aceleração
$\vec F = m \vec a$
Torque e aceleração
angular
$\vec T = I \vec \alpha$
Energia cinética
$(1/2) m v^2$
Energia cinética
$(1/2) I \omega^2$
Potência
$P = \vec F \cdot \vec v$
Potência
$P = \vec T \cdot \vec \omega$
Referências
ALONSO, Marcelo. FINN, Edward. Fundamental University Physics. Addison-Wesley, 1967.
BOUCHÉ, Ch. LEITNER, A. SANS, F. Dubbel - Manual da Construção de Máquinas. São Paulo, Hemus, 1979.
GIEK, Kurt. Manual de Fórmulas Técnicas. São Paulo, Hemus.
HALLIDAY, David. RESNIK, Robert. Física. Rio, Ao Livro Técnico, 1970.
HYPERPHYSICS. http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu.

Topo | Rev: Jan/2018