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Dinâmica I-40

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Tópicos: Energia e Forças não Conservativas | Atrito entre Sólidos | Atrito entre Sólidos e Fluidos |

Nos casos práticos, há sempre a presença de alguma força não conservativa, mesmo que seja desprezível ou não predominante. Exemplos: um corpo em queda livre sofre ação da gravidade (conservativa) e também do atrito com o ar (não conservativa). Um corpo que rola ou desliza sobre uma superfície sofre ação do atrito. Esta página traz algumas considerações teóricas básicas sobre forças de atrito e suas relações com a conservação da energia.


1) Energia e Forças não Conservativas

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Conforme visto em página anterior, a soma da energia cinética com a energia potencial de uma partícula sujeita à ação de forças conservativas é constante. Para um trajeto entre dois pontos quaisquer 1 e 2, pode-se estão escrever:

$$E_{c2} + E_{p2} = E_{c1} + E_{p1} \tag{1A}$$
Entretanto, se também ocorre ação de forças não conservativas (atritos), a equação anterior deve tomar a forma:

$$E_{c2} + E_{p2} = E_{c1} + E_{p1} + W_{nc} \tag{1B}$$
Onde Wnc é o trabalho das forças não conservativas. Ele é normalmente negativo porque atritos se opõem às direções dos movimentos.

Exemplo 1-I: a queda livre de um corpo de massa m, partindo da imobilidade (ponto 1, altura h) até o solo (ponto 2, altura 0). Se não há resistência do ar, ocorre apenas força conservativa (gravidade). Então,

$$\tfrac{1}{2}m v_2^2 + 0 = 0 + mgh \tag{1C}$$
A velocidade final v2 pode ser calculada por essa relação. Se agora for considerada a resistência do ar, deve-se ter:

$$\tfrac{1}{2}m v_2^2 + 0 = 0 + mgh + W_{nc} \tag{1D}$$
Desde que Wnc é um número negativo, a velocidade final deverá ser menor que a calculada pela igualdade anterior, conforme seria esperado


2) Atrito entre Sólidos

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Seja um corpo de massa m que desliza sobre uma superfície plana conforme figura a seguir. No sentido vertical, a força peso (magnitude = mg) é contrabalançada pela reação normal da superfície. Se uma força horizontal é aplicada para arrastar o corpo, a observação prática mostra que haverá uma força contrária, ou seja, uma força de atrito.

Atrito entre Sólidos
Fig 2-I

Teoricamente, a magnitude da força de atrito é proporcional à força normal e o fator de proporcionalidade (μ) é denominado coeficiente de atrito:

$$ F_a = \mu N \tag{2A}$$
Para as mesmas superfícies e nas mesmas condições, o coeficiente de atrito apresenta dois valores distintos:

μe (coeficiente de atrito estático): quando o corpo está parado, corresponde à menor força que inicia o movimento.

μd (coeficiente de atrito de deslizamento): quando o corpo se move em relação à superfície.

Em qualquer caso, pode-se observar que:

$$\mu_e \gt \mu_d \tag{2B}$$
Isso significa que a força mínima para iniciar o movimento é maior que a força mínima para manter o movimento.

Considerando o corpo em movimento, pode-se aplicar a lei de Newton para a força resultante:

$$ma = F - \mu_d N \tag{2C}$$
Um exemplo clássico do estudo de atrito é o plano inclinado conforme figura a seguir.

Plano Inclinado
Fig 2-II

Tem-se peso $P = m g$ e força normal $N = P \cos \alpha = mg \cos \alpha$. Supondo o corpo em movimento, este é o balanço das forças paralelas ao plano:

$$R = ma = F - P \sin \alpha - F_a = F - mg\sin \alpha - \mu_d mg \cos \alpha \tag{2D}$$

Portanto,

$$F = m[a + g(\sin \alpha + \mu_d \cos \alpha)] \tag{2E}$$
Com essa equação, pode-se determinar a força necessária para movimentar o corpo para cima sob determinada aceleração a (se o movimento é uniforme, a = 0). Na direção contrária (movimento para baixo), igualdade similar pode ser deduzida:

$$F = m[a - g(\sin \alpha - \mu_d \cos \alpha)] \tag{2F}$$
Quanto ao trabalho executado pela força de atrito, o cálculo é feito a partir da força. Desde que só depende da força normal, ela é constante em muitos casos, como neste exemplo do plano inclinado. Portanto, nessa condição, seria o simples produto matemático da força pelo deslocamento.

Seja agora um corpo sobre um plano inclinado conforme figura a seguir. Deseja-se saber a maior inclinação do plano sem movimentar o corpo.

Plano Inclinado: Ângulo Máximo de Repouso
Fig 2-III

Nesse caso, usa-se o coeficiente estático:

$$F_a = \mu_e N = \mu_e m g \cos \alpha = mg \sin \alpha \tag{2G}$$
Simplificando e reagrupando,

$$\mu_e = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \tan \alpha \tag{2H}$$
Portanto, o maior ângulo que o plano pode ter sem movimentar o corpo é tal que sua tangente trigonométrica é igual ao coeficiente de atrito estático entre as superfícies em contato.


3) Atrito entre Sólidos e Fluidos

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Se um corpo se move, em baixa velocidade, através de um fluido, a magnitude da força de atrito exercida pelo fluido é dada por:

$$F_a = K \eta v \tag{3A}$$
K: coeficiente que depende da forma do corpo.
η: viscosidade dinâmica do fluido.
v: velocidade do deslocamento.

Para uma esfera de raio R, o valor de K é 6 π R. Substituindo na anterior, tem-se a igualdade denominada equação ou lei de Stokes:

$$F_a = 6 \pi R \eta v \tag{3B}$$
A tabela abaixo dá valores aproximados de viscosidade dinâmica para alguns fluidos.

Tabela 3-I
Fluido η (10−1 Pa s)
Acetona 0,0032
Água 0,01
Álcool etílico 0,012
Amônia (g) 0,000097
Ar (g) 0,00018
Dióxido de carbono (g) 0,00015
Gasolina 0,006
Glicerina 14,9
Hidrogênio (g) 0,000093
Hélio (g) 0,00019
Óleo leve 1,1
Óleo pesado 6,6
Mercúrio 0,016
Metano (g) 0,00020
Nitrogênio (g) 0,00018
Oxigênio (g) 0,00020
Vapor d'água 100 °C (g) 0,00013

1) No estado líquido se não indicado ou no estado gasoso se indicado por (g). Temperatura 20°C se não indicado.
2) A unidade 10−1 Pa s equivale a 1 Poise.
Referências
ALONSO, Marcelo. FINN, Edward. Fundamental University Physics. Addison-Wesley, 1967.
BOUCHÉ, Ch. LEITNER, A. SANS, F. Dubbel - Manual da Construção de Máquinas. São Paulo, Hemus, 1979.
GIEK, Kurt. Manual de Fórmulas Técnicas. São Paulo, Hemus.
HALLIDAY, David. RESNIK, Robert. Física. Rio, Ao Livro Técnico, 1970.
HYPERPHYSICS. http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu.

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