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Dinâmica I-30

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Tópicos: Introdução - Forças Conservativas | Formulação Genérica da Energia Potencial | Outras Considerações | Exemplos |


1) Introdução - Forças Conservativas

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Conforme já visto, o trabalho de uma força entre dois pontos é dado pela integração das parcelas infinitesimais:

$$W_{A,B} = \int_A^B \vec F \cdot d\vec r \tag{1A}$$
De forma genérica, pode-se dizer que o resultado é dependente do caminho considerado entre os pontos. Exemplo: C, C', C'' e C''' em (b) da Figura 1-I.

Forças Conservativas
Fig 1-I

Entretanto, há casos em que o trabalho só depende da posição dos pontos. Assim, ele pode ser expresso em termos de uma função Ep(P), onde P indica as coordenadas do ponto:

$$W_{A,B} = \int_A^B \vec F \cdot d\vec r = Ep(A) - Ep(B) \tag{1B}$$
Uma força que apresenta esse comportamento é denominada força conservativa e a função Ep é dita energia potencial.

Desde que o trabalho é dado por uma diferença de valores de energia potencial, um deles deve ser arbitrado. Em geral, adota-se uma posição de referência com energia potencial nula. A Figura 1-II dá alguns exemplos.

Exemplos de Forças Conservativas
Fig 1-II

Em (a), há o caso da ação gravitacional, já vista em página anterior. Considera-se o nível do solo A como referência e, portanto, Ep(A) = 0. Se um corpo de peso P é levado de A até B, situado a uma altura h, a energia potencial em B é dada por:

$$Ep(B) = P h = m g h \tag{1C}$$
Essa igualdade simples ocorre porque a força peso é constante em direção e em magnitude (aproximação válida para alturas relativamente pequenas). Assim, o trabalho é o produto matemático da força peso (= produto da massa m pela aceleração da gravidade g) pelo deslocamento.

No caso de uma mola ideal como em (b) da figura, a magnitude da força não é constante porque, conforme lei de Hooke, F = k x, onde k é a constante da mola. Assim, para um deslocamento x, é preciso fazer a integração.

$$W = \int_0^x k x dx = Ep(B) = \tfrac{1}{2} k x^2 \tag{1D}$$
Uma característica importante das forças conservativas é a reversibilidade do processo. No caso da mola, por exemplo, o trabalho gasto para estender de A até B é recuperado quando ela se contrai de B até A. Coisa similar ocorre quando o peso P é levado de A até B e retorna de B para A. Forças não conservativas não apresentam essa propriedade. O trabalho executado por uma força não conservativa é dissipado na forma de calor. Forças de atrito são os exemplos mais comuns de forças não conservativas.


2) Formulação Genérica da Energia Potencial

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Da relação anterior (1B) e da definição de produto escalar, tem-se:

$$\vec F \cdot d\vec r = F dr \cos \phi = F_T dr= - dEp \tag{2A}$$
Na variação infinitesimal, dr equivale ao comprimento da curva dC. Assim,

$$F_T = - \frac{dEp}{dC} \tag{2B}$$
Essa igualdade indica que a energia potencial tem relação com a força aturante na direção do deslocamento. Generalizando para um sistema de coordenadas xyz, com uso de vetores unitários,

$$\vec F = - \tfrac{\partial Ep}{\partial x} \vec i - \tfrac{\partial Ep}{\partial y} \vec j - \tfrac{\partial Ep}{\partial z} \vec k \tag{2C}$$
Essa relação equivale ao operador vetorial:

$$\vec F = - \text{grad } Ep \tag{2D}$$
Portanto, a força conservativa atuante é dada pelo negativo do gradiente da energia potencial.


3) Outras Considerações

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Uma força central é uma força que se dirige sempre para o mesmo ponto, independente da sua direção. Em (a) da figura a seguir, exemplo de uma força central dirigida à origem do sistema de coordenadas.

Força Central e Caminho Fechado
Fig 3-I

Considerando os componentes do deslocamento infinitesimal na direção da força e perpendicular a ela, pode-se determinar a relação com energia potencial conforme tópico anterior. Mas a parcela perpendicular é nula porque a força é central. Assim,

$$F = - \frac{dEp}{dr} \tag{3A}$$
Essa igualdade significa que, para uma força central, a energia potencial só depende da distância em relação ao centro de aplicação da força.

Outro aspecto da energia potencial é dado em (b) da mesma figura: se uma força conservativa percorre um caminho fechado, o trabalho realizado é nulo porque os pontos inicial e final (A e B) coincidem e, portanto, Ep(A) = Ep(B). Ou seja:

$$\oint \vec F \cdot d \vec r = 0 \tag{3B}$$
Deduz-se que essa relação não é verdadeira para forças não conservativas (atrito).


4) Exemplos

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Caso 4-I: na Figura 4-I (a), um corpo de massa m está a uma altura h da extremidade superior de uma mola vertical de constante k. Se o corpo é deixado cair, ele atinge a mola depois de algum tempo como em (b) da figura. Depois, a mola sofre uma deformação máxima d, como em (c) da figura. Deseja-se saber essa deformação máxima em função dos parâmetros supostamente conhecidos m, h e k. É considerada uma situação ideal, isto é, sem atritos e aceleração da gravidade constante e igual a g.

Exemplo I de Iorça Conservativa
Fig 4-I

Considera-se o nível A como referência, isto é, energia potencial nula Ep(A) = 0. No nível B o corpo está em repouso. Portanto, energia cinética nula e energia potencial m g h. Ao chegar em A, a energia potencial será nula. Segundo o princípio da conservação da energia,

Etotal = Ec(A) + Ep(A) = Ec(B) + Ep(B)

Etotal = 0 + m g h = (1/2) m vB2 + 0

Na deformação máxima da mola (C da figura), a velocidade é nula e, portanto, a energia cinética também é. E a energia total deve ser igual à energia potencial do corpo mais a energia potencial de deformação da mola. Esta última, conforme (1D) é dada por (1/2) k d2. Assim,

Etotal = − m g d + (1/2) k d2

Igualando com a anterior,

− m g d + (1/2) k d2 = m g h

Reagrupando,

(1/2) k d2 − m g d − m g h = 0

A deformação máxima d é uma das soluções dessa equação do segundo grau.

Caso 4-II: em (a) da Figura 4-II, uma mola livre de constante k. Em (b) um disco de massa m1 é colocado sobre a mola e a condição de equilíbrio é alcançada, contraindo a mola de uma distância d1. Um corpo de massa m2 está a uma altura h desse disco. O corpo é liberado e, em (c), há o impacto com o disco, que é suposto perfeitamente plástico. Devido ao impacto, a deformação da mola aumenta até um acréscimo máximo d2, indicado em (d) da figura. Deseja-se saber os valores d1 e d2 sob as seguintes premissas: Constante da mola k = 17.500 N/m | Massa m1 = 12 kg | Massa m2 = 24 kg | Altura h = 1,8 m | Aceleração da gravidade g = 9,81 m/s2 | Condições ideais, sem atritos |

Exemplo II de Força Conservativa
Fig 4-II

A deformação d1 é estática e, portanto, é calculada pelo simples equilíbrio entre o peso da massa m1 e a força da mola:

m1 g = k d1. Portanto, d1 = 12 9,81 / 17.500 ≈ 0,0067 m

No choque perfeitamente plástico, as duas massas se juntam após a colisão, como se fossem um único corpo. Então, a velocidade comum v pode ser determinada pela conservação do momento linear no choque:

m1 v1 + m2 v2 = (m1 + m2) v

A velocidade inicial da massa m1 é nula, v1 = 0. O valor de v2 é dado pela queda livre de m2 na altura h.

v22 = 2 g h = 2 9,81 1,8 ≈ 35,3. Ou v2 ≈ 5,94 m/s. Portanto,

12 0 + 24 5,94 = (12 + 24) v

v = 142,56 / 36 ≈ 3,96 m/s

Considerando o nível C referência para a energia potencial gravitacional, a energia total em C deve ser igual a:

Etotal = 0 + (1/2) k d12 + (1/2) (m1 + m2) v2

Etotal = 0 + 0,5 17500 0,00672 + 0,5 (12 + 24) 3,962 ≈ 282,66 J

Desde que a velocidade em D é nula, a energia total é igual à soma da energia potencial das duas massas com a energia potencial de deformação da mola:

Etotal = − (m1 + m2) g d2 + (1/2) k (d1 + d2)2

Fazendo d = d1 + d2, tem-se d2 = d − 0,0067. Substituindo,

Etotal = − (12 + 24) 9,81 (d − 0,0067) + 0,5 17500 d2

Igualando com o valor anterior,

− (12 + 24) 9,81 (d − 0,0067) + 0,5 17500 d2 = 282,66

Ou, de forma aproximada,

8750 d2 − 353 d − 280 = 0

A solução viável é d ≈ 0,20 m. Portanto,

d2 ≈ 0,20 − 0,0067 ≈ 0,19 m
Referências
ALONSO, Marcelo. FINN, Edward. Fundamental University Physics. Addison-Wesley, 1967.
BOUCHÉ, Ch. LEITNER, A. SANS, F. Dubbel - Manual da Construção de Máquinas. São Paulo, Hemus, 1979.
GIEK, Kurt. Manual de Fórmulas Técnicas. São Paulo, Hemus.
HALLIDAY, David. RESNIK, Robert. Física. Rio, Ao Livro Técnico, 1970.
HYPERPHYSICS. http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu.

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