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Dinâmica I-25

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Tópicos: Energia Cinética e Potencial |


1) Energia Cinética e Potencial

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Seja a relação, dada em página anterior, entre trabalho W, força tangencial FT e deslocamento infinitesimal ds:

$$W = \int_1^2 F_T ds \tag{1A}$$
Seja também a relação em módulo entre força F, momento linear p, massa m (constante), velocidade v e tempo t:

$$F = \frac{dp}{dt} = m \frac{dv}{dt} \tag{1B}$$
Substituindo na anterior (lembrando que ds/dt = v),

$$W = \int_1^2 m \frac{dv}{dt} ds = \int_1^2 m v dv = \frac{1}{2} m v^2 \Big\vert_1^2 \tag{1C}$$

O termo (1/2)mv2 é denominado energia cinética da partícula. Portanto, o trabalho é igual à variação da energia cinética.

Na figura a seguir, uma partícula se desloca entre os pontos 1 e 2 de uma trajetória genérica sob ação de força F, constante em intensidade e direção.

Energia Potencial
Fig 1-I

$$W = \int_1^2 \vec F \cdot d \vec r = \vec F \cdot \int_1^2 d \vec r = \vec F \cdot (\vec r_2 - \vec r_1)$$

$$W = \vec F \cdot (\vec r_2 - \vec r_1)_X + \vec F \cdot (\vec r_2 - \vec r_1)_Y$$
A primeira parcela é nula porque o componente horizontal do vetor deslocamento é perpendicular à força. A segunda parcela é dada pelo produto dos módulos porque o componente vertical tem o mesmo alinhamento da força, correspondendo à coordenada y do ponto. Portanto,

$$W = F y\Big\vert_1^2 \tag{1D}$$
Ou seja, para esse caso, o trabalho só depende das diferenças entre as coordenadas y. Se a força é a ação da gravidade (peso) próxima da superfície terrestre, F = − mg, onde g é a aceleração da gravidade. Assim,

$$W = m g y_1 - m g y_2 \tag{1E}$$
O termo mgy é denominado energia potencial e, portanto, o trabalho da ação da gravidade é dado pela diferença de energias potenciais. Essa diferença só depende das alturas e não do caminho percorrido.

Igualando W de (1C) e (1E) e reagrupando,

$$m g y_1 + \frac{1}{2} m v_1^2 = m g y_2 + \frac{1}{2} m v_2^2 \tag{1F}$$
Portanto, pode-se dizer que, para uma partícula sujeita à ação da gravidade (considerada constante), a energia total, dada pela soma da energia potencial e da energia cinética, é constante (princípio da conservação da energia para esse caso).

Seja a queda livre de um corpo de massa m a partir de uma altura h do solo com velocidade inicial nula (desprezando-se resistência do ar e quaisquer outras interações). Usando a relação (1F), m g h + (1/2) m 0 = m g 0 + (1/2) m v2. Portanto, o corpo toca o solo com velocidade:

$$v = \sqrt{2 g h} \tag{1G}$$
Exemplo 01

Na próxima figura, uma esfera de massa m, presa por um fio a um ponto O, executa um movimento circular no plano vertical. Forças de atrito não são consideradas.

Nota-se que não é um movimento circular uniforme porque, em um ponto genérico C, as forças atuantes são o peso P e a força centrípeta F. Assim, a resultante não é dirigida para o centro do círculo, havendo aceleração tangencial. Mas, nos pontos extremos A e B, as forças estão no mesmo alinhamento e voltadas para o centro. Isso anula a aceleração tangencial, ocorrendo apenas a aceleração normal nesses pontos.

Exemplo de Movimento Circular não Uniforme
Fig 1-II

Conforme relações da Dinâmica, a força centrípeta, para o movimento circular, é dada por F = m aN = m ω2 R. Mas v = ω R. Assim,

$$F = m v^2 / R$$
Para manter o fio esticado, a velocidade no ponto superior vA deve ser tal que a força centrípeta necessária seja maior que o peso (P = m g) da esfera. Na situação limite, pode-se dizer que deve ser igual: m g = m vA_min2 / R. Portanto,

$$v_{A \ min} = \sqrt{g R}$$
Aplicando (1F )entre os pontos A e B (considerando altura zero em B),

m g (2R) + (1/2) m vA2 = m g (0 R) + (1/2) m vB2

Resolvendo para o valor mínimo de vA,

$$v_{B \ min} = \sqrt{5 g R}$$
É sugerido ao leitor o cálculo da força de tração no fio para o ponto B.

Exemplo 02

Seja, conforme figura a seguir, um automóvel de massa m = 1000 kg que sobre uma rampa de inclinação α = 10º sob velocidade constante v = 50 km/h (ou 13,9 m/s). Deseja-se saber a energia que o motor deve fornecer para percorrer 100 m ao longo da rampa, desprezando todas as perdas devido a atritos.

Exemplo de Plano Inclinado
Fig 1-III

O peso é P = m g = 1000 9,81 = 9810 N. Também sin α ≈ 0,174 e cos α ≈ 0,985. Decompondo o peso em forças paralela e normal ao plano, a reação do plano N é igual a P cos α.

Desde que o movimento é retilíneo uniforme, a resultante das forças deve ser nula. Assim, a força F, exercida pelo motor, deve ser igual a P sen α.

F = P sin α = 9810 x 0,174 ≈ 1707 N

Para percorrer 100 m, a energia (= trabalho) é:

E = 1707 x 100 ≈ 1,7 105 J

Nota-se que, na hipótese considerada (sem atritos), a energia não depende da velocidade. Esta última tem influência na potência fornecida pelo motor. Na velocidade mencionada (13,9 m/s), a potência necessária é:

P = F v = 1707 x 13,9 ≈ 23,7 kW
Referências
ALONSO, Marcelo. FINN, Edward. Fundamental University Physics. Addison-Wesley, 1967.
BOUCHÉ, Ch. LEITNER, A. SANS, F. Dubbel - Manual da Construção de Máquinas. São Paulo, Hemus, 1979.
GIEK, Kurt. Manual de Fórmulas Técnicas. São Paulo, Hemus.
HALLIDAY, David. RESNIK, Robert. Física. Rio, Ao Livro Técnico, 1970.
HYPERPHYSICS. http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu.

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