Dinâmica I-10

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Dinâmica I-10

1) Momento Linear e Leis de Newton

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Momento Linear ou Quantidade de Movimento de um corpo é a grandeza vetorial dada pelo produto da grandeza escalar massa pelo vetor velocidade:

$$\vec p = m \vec v \tag{1A}$$
Exemplo prático: um veículo carregado é mais difícil de ser parado que o mesmo veículo vazio, porque a quantidade de movimento do primeiro é maior.

Lei da Conservação do Momento

Para um conjunto ou sistema de partículas isolado, isto é, partículas que só interagem entre si, a soma dos momentos lineares de cada é constante:

$$\vec p = \vec p_1 + \vec p_2 + \cdots = \textrm{constante} \tag{1B}$$
Exemplo prático: uma arma, ao ser disparada, produz um retrocesso. Antes do disparo, os momentos lineares da arma e do projétil eram nulos e, portanto, a soma também. Após o disparo, o projétil adquiriu um momento linear não nulo. E o corpo da arma deverá adquirir um momento linear não nulo e oposto ao do projétil para manter o total zero.

Primeira Lei de Newton

Em termos clássicos: um corpo que não sofre ação de outros (ou seja, é livre) está em repouso ou em movimento retilíneo uniforme. Em termos de momento linear: o momento linear de um corpo livre é constante.

Segunda Lei de Newton

A força que age sobre uma partícula é igual à variação do momento linear com o tempo:

$$\vec F = \frac{d \vec p}{dt} \tag{1C}$$
Dessa definição e da primeira lei, conclui-se que é nula a força atuante sobre um corpo em repouso ou em movimento retilíneo uniforme.

Substituindo o momento linear conforme (1A) e considerando a massa constante,

$$\vec F = m \frac{d \vec v}{dt} = m \vec a \tag{1D}$$
Nessa relação, a grandeza a é dita aceleração. Portanto, se a massa é constante, a força é igual ao produto da massa pela aceleração. No Sistema Internacional, a unidade de força é o Newton (N), equivalente a 1 kg m/s².

Um corpo próximo da superfície terrestre é submetido a uma força devido ao campo gravitacional da Terra. Essa força é denominada peso. Para este caso específico, a igualdade anterior é normalmente escrita:

$$\vec P = m \vec g \tag{1E}$$
Onde $\vec g$ é denominado aceleração da gravidade (valor absoluto ≈ 9,81 m/s²).

Terceira Lei de Newton

Quando duas partículas interagem somente entre si, as forças que uma exerce na outra são iguais e opostas. Esse princípio, também denominado lei da ação e reação, é consequência da lei da conservação do momento linear. Seja (1B) para duas partículas:

$$ \vec p_1 + \vec p_2 = k$$
Derivando em relação ao tempo e considerando (1C),

$$\frac{d\vec p_1}{dt} + \frac{d\vec p_2}{dt} = \vec F_1 + \vec F_2 = 0$$
Portanto, $\vec F_1 = - \vec F_2$

2) Forças Atuantes sobre uma Partícula em Movimento

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A figura a seguir representa uma partícula em um movimento genérico, com velocidade v e aceleração a. Conforme Cinemática I-10, a aceleração pode ser dada pela soma vetorial dos componentes tangencial e normal. Considerando (1D), o vetor força é alinhado com o vetor aceleração conforme indicado.

Fig 2-I

A decomposição nas direções tangencial e normal resulta em:

$$\vec F_t = m \vec a_t\\\vec F_n = m \vec a_n \tag{2A}$$
A força normal $\vec F_n$ está sempre voltada para o centro de curvatura da trajetória da partícula. Por isso, é denominada força centrípeta.

No caso particular do movimento circular uniforme segundo figura a seguir, a aceleração tangencial é nula, existindo apenas o componente normal (ver Cinemática II-10).

Fig 2-II

Da página mencionada, em módulo, a aceleração normal é dada por (onde ω é a velocidade angular):

$$a_n = \omega^2 R \tag{2B}$$
Portanto, a única força atuante sobre uma partícula em movimento circular uniforme é a força centrípeta (F da figura), que, considerando (2A), é calculada por:

$$F = m \omega^2 R \tag{2C}$$
Exemplo: na figura abaixo, uma esfera de material rígido pode rolar sem deslizamento sobre uma superfície plana e horizontal. Desprezam-se todas as forças de atrito. Se a esfera é amarrada a um fio (de massa desprezível) preso a um ponto O conforme (a) da figura e posta a girar, pode-se dizer que a única força nela atuante é a força centrípeta, uma vez que o seu peso é contrabalançado pela reação da superfície.

Fig 2-III

Portanto, num determinado ponto A da trajetória, ela tem velocidade v_A. Se, nesse ponto A, o fio se parte como em (b) da figura, o total das forças atuantes na esfera passa a zero. Assim, segundo Primeira Lei de Newton, ela terá um movimento retilíneo uniforme com velocidade v_A, ou seja, o movimento será nessa velocidade, na direção da tangente à circunferência no ponto A.

Referências
ALONSO, Marcelo. FINN, Edward. Fundamental University Physics. Addison-Wesley, 1967. BOUCHÉ, Ch. LEITNER, A. SANS, F. Dubbel - Manual da Construção de Máquinas. São Paulo, Hemus, 1979. GIEK, Kurt. Manual de Fórmulas Técnicas. São Paulo, Hemus. HALLIDAY, David. RESNIK, Robert. Física. Rio, Ao Livro Técnico, 1970. HYPERPHYSICS. http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu.

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