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Determinantes II

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Tópicos: Algumas Propriedades dos Determinantes (cont) | Determinantes e Equações Lineares |


1) Algumas Propriedades dos Determinantes (cont)

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Continuação da página anterior. Igualdades demonstrativas com determinantes de segunda ordem.

• mantidas as ordens dos elementos, um determinante não se altera se linhas e colunas são trocadas:

$$\begin{vmatrix}a_1&b_1\\a_2&b_2\end{vmatrix} = \begin{vmatrix}a_1&a_2\\b_1&b_2\end{vmatrix} \tag{1A}$$
• se duas linhas ou duas colunas são trocadas entre si, o determinante muda de sinal:

$$\begin{vmatrix}a_1&b_1\\a_2&b_2\end{vmatrix} = -\begin{vmatrix}b_1&a_1\\b_2&a_2\end{vmatrix} \tag{1B}$$
• se os elementos de duas linhas ou colunas são iguais entre si, proporcionais entre si ou uma linha ou coluna é nula, o determinante é nulo (k é um número qualquer):

$$\begin{vmatrix}a_1&ka_1\\a_2&ka_2\end{vmatrix} = 0 \tag{1C}$$
• se os elementos de uma mesma linha ou coluna têm um fator de multiplicação comum, ele pode ser colocado em evidência:

$$\begin{vmatrix}ka_1&b_1\\ka_2&b_2\end{vmatrix} = k \begin{vmatrix}a_1&b_1\\a_2&b_2\end{vmatrix} \tag{1D}$$
• um determinante não se altera se, aos elementos de uma linha ou coluna, são somados ou subtraídos os elementos (ou múltiplos deles) de outra linha ou coluna:

$$\begin{vmatrix}a_1&b_1\\a_2&b_2\end{vmatrix} = \begin{vmatrix}a_1&b_1\pm ka_1\\a_2&b_2\pm ka_2\end{vmatrix} \tag{1E}$$


2) Determinantes e Equações Lineares

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Determinantes podem ser usados para resolver sistemas de equações lineares. Seja, como exemplo, um sistema de 3 equações e 3 incógnitas:

$$\begin{array}{c} a_1x+b_1y+c_1z=d_1\\ a_2x+b_2y+c_2z=d_2\\ a_3x+b_3y+c_3z=d_3\end{array} \tag{2A}$$
Ele pode ser escrito em termos de multiplicação de matrizes K U = D. Ou na forma expandida:

$$\overbrace{\begin{bmatrix}a_1&b_1&c_1\\a_2&b_2&c_2\\a_3&b_3&c_3\end{bmatrix}}^K \underbrace{\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}_U = \underbrace{\begin{bmatrix}d_1\\d_2\\d_3\end{bmatrix}}_D \tag{2B}$$

K: matriz dos coeficientes
U: matriz das incógnitas
D: matriz dos termos independentes

As matrizes KX, KY e KZ são formadas pela substituição, na matriz K, da primeira, segunda e terceira colunas pela coluna da matriz D:

$$K_X=\begin{bmatrix}d_1&b_1&c_1\\d_2&b_2&c_2\\d_3&b_3&c_3\end{bmatrix}\quad K_Y=\begin{bmatrix}a_1&d_1&c_1\\a_2&d_2&c_2\\a_3&d_3&c_3\end{bmatrix}\quad K_Z=\begin{bmatrix}a_1&b_1&d_1\\a_2&b_2&d_2\\a_3&b_3&d_3\end{bmatrix} \tag{2C}$$

E a solução do sistema é dada por:

$$x={\det(K_X)\over \det(K)}\quad y={\det(K_Y)\over \det(K)}\quad z={\det(K_Z)\over \det(K)} \tag{2D}$$

Método válido para $\det(K) ≠ 0$.
Referências
Bouché, Ch; Leitner, A; Sass, F. Dubbel - Manual da Construção de Máquinas. São Paulo: Hemus, 1979.
Giek, Kurt. Manual de Fórmulas Técnicas. São Paulo: Hemus.
Simmons, H. A. College Algebra. New York: Macmillan.
Vygodsky, M. Mathematical Handbook. Moscow: Mir Publishers, 1971.

Topo | Rev: Fev/2008