Anotações & Informações | Índice | Fim pág | Voltar |


Determinantes I

| Índice do grupo | Página anterior | Próxima página |

Tópicos: Símbolos e Determinantes de Segunda Ordem | Determinantes de Ordens Superiores | Algumas Propriedades dos Determinantes |


Determinante é uma função que associa um escalar a uma matriz quadrada. É um importante conceito matemático, usado, por exemplo, na solução de sistemas de equações lineares.


1) Símbolos e Determinantes de Segunda Ordem

(Topo | Fim pág)

Na forma compacta, o determinante de uma matriz quadrada A é simbolizado por:

$$\det A \tag{1A}$$
O determinante também pode ser representado pelos elementos da matriz, com a substituição dos colchetes por barras verticais. Seja, por exemplo, uma matriz 2×2:

$$A_{2\times 2} = \begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{bmatrix} \tag{1B}$$
A seguir, os símbolos mencionados e a operação aritmética que define o determinante da matriz.

$$\det A = \begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix} = a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21} \tag{1C}$$

O determinante acima é de segunda ordem, em razão da dimensão da matriz.


2) Determinantes de Ordens Superiores

(Topo | Fim pág)

Determinantes de terceira ordem ou superior podem ser calculados por decomposição. Seja uma matriz genérica 3×3:

$$A = \begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{bmatrix} \tag{2A}$$
Considera-se, por exemplo, a primeira linha da matriz. Cada elemento dessa linha é multiplicado pelo determinante da matriz que restar pela eliminação da linha e da coluna que passam pelo elemento. E o determinante da matriz 3×3 é a soma dessas parcelas, considerando sinal positivo para coluna ímpar e negativo para coluna par.

$$\det A = a_{11}\begin{vmatrix}a_{22}&a_{23}\\a_{32}&a_{33}\end{vmatrix} - a_{12}\begin{vmatrix}a_{21}&a_{23}\\a_{31}&a_{33}\end{vmatrix} + a_{13}\begin{vmatrix}a_{21}&a_{22}\\a_{31}&a_{32}\end{vmatrix} \tag{2B}$$

Na operação acima, os determinantes de segunda ordem são calculados de acordo com fórmula (1C) do tópico anterior. Com a aplicação desse procedimento em cascata, determinantes de quaisquer ordens podem ser calculados.

De outra forma, o determinante de uma matriz 3×3 pode ser indicado por:

$$\det A = \sum_{i=1}^3\sum_{j=1}^3\sum_{k=1}^3\epsilon_{ijk}\ a_{1i}\ a_{2j}\ a_{3k} \tag{2C}$$
Onde εijk é a notação de Levi-Civita:

$$\epsilon_{ijk} = \begin{cases}+1&(i\ j\ k)=(1\ 2\ 3)\rm{\ ou\ }(2\ 3\ 1)\rm{\ ou\ }(3\ 1\ 2)\\-1&(i\ j\ k)=(3\ 2\ 1)\rm{\ ou\ }(1\ 3\ 2)\rm{\ ou\ }(2\ 1\ 3)\\0&i=j\rm{\ ou\ }j=k\rm{\ ou\ }k=i\end{cases} \tag{2D}$$

3) Algumas Propriedades dos Determinantes

(Topo | Fim pág)

Na multiplicação de matrizes,

$$\det(A\ B) = \det(A)\ \det(B) \tag{3A}$$
Para uma matriz identidade,

$$\det(k I_n) = k^n \tag{3B}$$
Assim, considerando propriedades da multiplicação de matrizes, se A é uma matriz quadrada n×n,

$$\det(k A) = k^n \det(A) \tag{3C}$$
No caso de matriz inversa,

$$\det(A^{-1}) = {1 \over \det(A)} \tag{3D}$$
Para uma matriz transposta,

$$\det(A^T) = \det(A) \tag{3E}$$
Continua na próxima página.
Referências
Bouché, Ch; Leitner, A; Sass, F. Dubbel - Manual da Construção de Máquinas. São Paulo: Hemus, 1979.
Giek, Kurt. Manual de Fórmulas Técnicas. São Paulo: Hemus.
Simmons, H. A. College Algebra. New York: Macmillan.
Vygodsky, M. Mathematical Handbook. Moscow: Mir Publishers, 1971.

Topo | Rev: Fev/2008