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Algumas Curvas Planas IV

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Tópicos: Hélice | Hipérbole | Parábola |


1) Hélice

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2) Hipérbole

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Formada pelos pontos cuja diferença das distâncias em relação a dois pontos fixos é constante. Na Figura 2-I, para qualquer M na curva, vale:

$$|MF - MF'| = 2 a \tag{2A}$$
Nota-se que, pela definição acima, são duas curvas. Os pontos F e F' são os focos da hipérbole. E a equação da hipérbole (com interseção das assíntotas na origem do sistema de coordenadas) é dada por:

$${x^2 \over a^2}-{y^2 \over b^2}=1 \tag{2B}$$

Fig 2-I

Distância entre focos:

$$d = \sqrt{a^2+b^2} \tag{2C}$$
Inclinação das assíntotas:

$$\tan \alpha = \pm\ {b \over a} \tag{2D}$$
Raio de curvatura no vértice:

$$r = {b^2 \over a} \tag{2E}$$
Se a = b, a hipérbole é dita equilátera. Nesse caso, α = 45° e as assíntotas são perpendiculares entre si (obs: assíntota é uma reta que é tangente a uma curva no infinito).


3) Parábola

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Formada pelos pontos equidistantes de um determinado ponto e de uma determinada reta. Assim, na Figura 3-I, para qualquer M na curva vale:

$$MF = MK \tag{3A}$$
O ponto F é denominado foco e a reta d, diretriz da parábola. A distância p entre foco e diretriz é o parâmetro da parábola. E a equação da curva é dada por:

$$y = {1 \over 2p} x^2 \tag{3B}$$

Fig 3-I

Equação da diretriz:

$$y = -{p \over 2} \tag{3C}$$
Raio de curvatura no vértice:

$$r = p \tag{3D}$$
A forma genérica $y = ax^2 + bx + c$ representa uma parábola qualquer, podendo a origem do sistema de coordenadas ser distinta do vértice.
Referências
Bouché, Ch; Leitner, A; Sass, F. Dubbel - Manual da Construção de Máquinas. São Paulo: Hemus, 1979.
Giek, Kurt. Manual de Fórmulas Técnicas. São Paulo: Hemus.
Simmons, H. A. College Algebra. New York: Macmillan.
Vygodsky, M. Mathematical Handbook. Moscow: Mir Publishers, 1971.

Topo | Rev: Fev/2008