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Algumas Curvas Planas III

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Tópicos: Espiral de Arquimedes | Exponencial | Tratriz |


1) Espiral de Arquimedes

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É assim denominada por ter sido Arquimedes (300 AC) o primeiro a estudá-la. Fisicamente pode ser descrita como o lugar geométrico dos pontos P de uma reta que gira em torno do centro O com velocidade angular constante e o ponto P se desloca, sobre a reta e a partir de O, com velocidade constante em relação a essa reta.


Fig 1-I

Matematicamente pode ser definida em coordenadas polares. Seja ρ = OP. Então a distância ρ é proporcional ao ângulo deslocado:

$$\rho = k\ \phi \tag{1A}$$
Onde k é o parâmetro da espiral de Arquimedes.


2) Exponencial

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Esta curva, resultante da função exponencial $y = a^x$, onde a é um número real maior que zero, é apresentada aqui apenas por uma curiosidade.


Fig 2-I

Independente de a, ela sempre passa pelo ponto (x=0, y=1). Seja α o ângulo que a tangente à curva faz com a horizontal no referido ponto. Se tan α = 1, isto é, α = 45°, então a é o número e.


3) Tratriz

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É a curva da trajetória de uma extremidade M de um fio inextensível e mantido esticado cuja outra extremidade P se desloca pela reta x, conforme figura abaixo. Esse problema foi proposto em 1693 pelo físico francês Claude Perrot e posteriormente resolvido por Leibniz e Huyghens.


Fig 3-I

A reta x é a diretriz da curva e qualquer tangente à ela intercepta a diretriz tal que:

$$MP = a = \text{constante} \tag{3A}$$
Pode-se notar que a curva é simétrica em relação a y e, no vértice A, é tangente a esse eixo. Assim, AO = a. A diretriz x é assíntota à curva. E as equações em função do ângulo α são:

$$x = a \cos \alpha + a \ln\left(\tan{\alpha\over 2}\right)\\y = a \sin \alpha \tag{3B}$$
Referências
Bouché, Ch; Leitner, A; Sass, F. Dubbel - Manual da Construção de Máquinas. São Paulo: Hemus, 1979.
Giek, Kurt. Manual de Fórmulas Técnicas. São Paulo: Hemus.
Simmons, H. A. College Algebra. New York: Macmillan.
Vygodsky, M. Mathematical Handbook. Moscow: Mir Publishers, 1971.

Topo | Rev: Fev/2008