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Algumas Curvas Planas II

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Tópicos: Catenária | Elipse |


1) Catenária

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É a curva formada por um fio homogêneo e inextensível, suspenso entre dois pontos e sujeito somente à ação do seu peso próprio. A equação da catenária, na forma da figura abaixo, é dada por uma função hiperbólica:

$$y = c\ \cosh {x \over c} \tag{1A}$$
O termo c, ordenada do ponto mais baixo C, é denominado parâmetro. O comprimento do arco s entre C e um ponto genérico (x,y) é dado por:

$$s^2 = y^2 - c^2 \tag{1B}$$

Fig 1-I

Considerando w o peso por unidade de comprimento (ex: N/m) do cabo, o esforço longitudinal F em um ponto genérico (x,y) é dado por:

$$F = w\ y \tag{1C}$$
Exemplo: sejam dados o peso por comprimento w, a distância d e a flecha f. Assim, xB = d/2 e yB = c + f. Conforme equação da curva, $\displaystyle c+f = c\ \cosh {d \over 2c}$. Desde que d e f são conhecidos, pode-se calcular c. Mas essa equação não tem solução direta. Só pode ser resolvida através da arbitragem de um valor inicial para c e posteriores aproximações sucessivas. Uma vez determinado c, os demais valores podem ser calculados.


2) Elipse

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É a curva formada pelos pontos cuja soma das distâncias até outros dois é constante. Assim, na figura 2-I, para qualquer M na curva, vale:

$$MF + MF' = \text{constante} = 2a \tag{2A}$$
Os pontos F e F' são denominados focos da elipse. A distância entre os dois vértices ao longo do eixo horizontal, 2a, é dita eixo maior e, na vertical, 2b, eixo menor (analogamente, a metade, a e b, são os semi-seixos maior e menor). A equação da elipse é dada por:

$${x^2 \over a^2}+{y^2 \over b^2}=1 \tag{2B}$$

Fig 2-I

Distância entre focos e raios de curvatura nos vértices:

$$d=\sqrt{a^2-b^2}\quad r={b^2\over a}\quad r'={a^2\over b} \tag{2C}$$

Área da elipse:

$$S = \pi a b \tag{2D}$$
Perímetro da elipse:

$$P = \pi(a+b)\left(1+{k^2\over 4}+{k^4\over 64}+\cdots\right) \approx \pi(a+b)\\\text{Onde}\ k = {a-b \over a+b} \tag{2E}$$

O círculo é um caso particular da elipse, onde a = b = r (raio). Assim, k = 0, área S = π r2 e perímetro P = 2 π r.
Referências
Bouché, Ch; Leitner, A; Sass, F. Dubbel - Manual da Construção de Máquinas. São Paulo: Hemus, 1979.
Giek, Kurt. Manual de Fórmulas Técnicas. São Paulo: Hemus.
Simmons, H. A. College Algebra. New York: Macmillan.
Vygodsky, M. Mathematical Handbook. Moscow: Mir Publishers, 1971.

Topo | Rev: Fev/2008