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Algumas Curvas Planas I

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Tópicos: Alguns Conceitos | Comprimento de uma Curva |


1) Alguns Conceitos

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Seja, conforme Figura 1-I, um ponto P e outro próximo P' de uma curva genérica A. As respectivas tangentes à curva nesses pontos fazem um ângulo α entre si.

Curvatura (K) da curva A em P é dada pela situação limite do ângulo α em relação ao comprimento do arco entre P e P':

$$K = {d\alpha \over d\overset{\frown}{PP'}} \tag{1A}$$
No caso particular de uma circunferência de raio r,

$$K = {1 \over r} \tag{1B}$$

Fig 1-I

Raio de curvatura (R) é dado pelo é o segmento PC ao longo da reta normal N tal que:

$$PC = R = {1 \over K} \tag{1C}$$
O ponto C é o centro de curvatura relativo ao ponto P. Para uma reta (ou ponto de inflexão de uma curva), a curvatura é nula e o raio de curvatura é infinito.

Evoluta de uma curva genérica é a curva formada pelos seus centros de curvatura. As tangentes a uma evoluta são normais à curva original. No exemplo da Figura 1-II, A é uma parábola e E é a sua evoluta.


Fig 1-II

Seja a tangente T no ponto P de uma curva genérica B, conforme Figura 1-III. Se essa reta tangente rola sobre a curva sem deslizar, a curva gerada por um ponto M em T é denominada involuta ou evolvente.


Fig 1-III

O número de evolventes é ilimitado porque qualquer ponto em T (M, M', M'', ...) pode gerar uma. A curva B é a evoluta de qualquer involuta gerada.


2) Comprimento de uma Curva

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Na Figura 2-I, Δc é o comprimento da reta entre P e Q, e Δℓ é o comprimento da curva entre esses pontos. Da relação trigonometria:

Δc2 = Δx2 + Δy2. De outra forma: ΔcΔx =

[

1 + (ΔyΔx)2

]

1/2


Considera-se a relação:

ΔℓΔx = ΔℓΔc ΔcΔx. Portanto: ΔℓΔx = ΔℓΔc

[

1 + (ΔyΔx)2

]

1/2


Na situação limite, ΔℓΔc → 1. Assim,

limΔx→0 ΔℓΔx = dℓdx =

[

1 + (dydx)2

]

1/2



Fig 2-I

Reagrupando, dℓ =

[

1 + (dydx)2

]

1/2 dx


E o comprimento da curva entre dois pontos genéricos A e B é dado pela integral:

$$\ell_{AB} = \int_{x_A}^{x_B} \sqrt{1 + \left({dy \over dx}\right)^2}\ dx \tag{2A}$$
Onde xA e xB são os valores de x nesses pontos.

A fórmula anterior pode ser generalizada para f(x, y, z) = 0, isto é, uma curva no espaço:

$$\ell_{AB} = \int_{A}^{B} \sqrt{(dx)^2+(dy)^2+(dz)^2} \tag{2B}$$

Se usadas as equações paramétricas da curva, pode-se multiplicar e dividir por dt:

$$\ell_{AB} = \int_A^B \sqrt{\left({dx\over dt}\right)^2+\left({dy\over dt}\right)^2+\left({dz\over dt}\right)^2}\ dt \tag{2C}$$
Referências
Bouché, Ch; Leitner, A; Sass, F. Dubbel - Manual da Construção de Máquinas. São Paulo: Hemus, 1979.
Giek, Kurt. Manual de Fórmulas Técnicas. São Paulo: Hemus.
Simmons, H. A. College Algebra. New York: Macmillan.
Vygodsky, M. Mathematical Handbook. Moscow: Mir Publishers, 1971.

Topo | Rev: Fev/2008