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Cinemática II-10

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Tópicos: Velocidade Angular | Movimento Circular Uniforme | Aceleração no Movimento Circular | Exemplo I | Exemplo II | Exemplo III |


1) Velocidade Angular

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Em (a) da Figura 01 considera-se um movimento ao longo da circunferência C, de raio R. Os pontos A e B correspondem a um arco infinitesimal de ângulo dϕ. Pela definição de ângulo, o comprimento desse arco é igual a dϕ R. Considerando agora a definição de velocidade, em termos escalares, v = (dϕ R)/dt. Desde que o raio R é constante,

$$v = \frac{d\phi}{dt} R = \omega R \tag{1A}$$
A grandeza ω nessa relação é denominada velocidade angular. Ela indica a variação do deslocamento angular em relação ao tempo:

$$\omega = \frac{d\phi}{dt} \tag{1B}$$

Movimento Circular e Velocidade Angular
Fig 1-I

No aspecto vetorial, supõe-se uma situação genérica como em (b) da mesma figura. O vetor de posição é dado em relação a uma origem qualquer 0 na vertical que passa pelo centro do círculo. Então o raio R é dado por R = r sin β. Substituindo na anterior, v = ω r sin β. Essa igualdade sugere um produto vetorial. Portanto, pode-se definir velocidade angular como um vetor $\vec \omega$ tal que:

$$\vec v = \vec \omega \times \vec r \tag{1C}$$
Pelo produto vetorial, conclui-se que o vetor $\vec \omega$ deve ser perpendicular ao círculo. E a simetria da questão indica que ele deve passar pelo centro. A definição só é válida para movimento circular, r e β constantes conforme (b) da figura.

A unidade básica de velocidade angular no Sistema Internacional (SI) é o radiano por segundo (rad/s). Na prática, é disseminado o uso de rotação por minuto (rpm), equivalente a (π / 30) rad/s (no caso de rpm, é comum simbolizar a grandeza com n no lugar de ω).


2) Movimento Circular Uniforme

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Um movimento circular é dito uniforme se a velocidade angular é constante. Considerando as igualdades do tópico anterior, pode-se deduzir que isso implica módulo da velocidade constante. O vetor velocidade em si não é constante porque sua direção varia continuamente. Apenas a intensidade é constante. Com ω invariável, pode-se dispensar relações infinitesimais e usar intervalos finitos, ω = Δϕ / Δt. Supondo valores iniciais nulos para ângulo e tempo, estas são as igualdades comuns:

$$\omega = \phi \big/ t\\ \phi = \omega t \tag{2A}$$
Se considerado um valor inicial não nulo para o ângulo, o resultado é uma fórmula similar à do deslocamento no movimento retilíneo uniforme:

$$\phi = \phi_0 + \omega t \tag{2B}$$
Período P de um movimento circular é o tempo de uma rotação completa. Portanto,

$$P = 2 \pi \big/ \omega \tag{2C}$$
Frequência f de um movimento circular equivale ao número de rotações por unidade de tempo. É igual ao inverso do período:

$$f = 1 \big/ P = \omega \big/ (2\pi) \tag{2D}$$
Por ser um intervalo de tempo, a unidade do período é o segundo (s) no Sistema Internacional. Sendo o inverso do período, a unidade da frequência é 1/s ou s−1, que é denominada Hertz (Hz) no Sistema Internacional.


3) Aceleração no Movimento Circular

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Em página anterior foi visto que, de forma genérica, o vetor aceleração não tem necessariamente a mesma direção do vetor velocidade. Também visto que, numa análise mais abrangente, o vetor aceleração é decomposto nas parcelas tangencial (mesma linha da velocidade) e normal (perpendicular à velocidade). A Figura 3-I (a) representa isso para um movimento circular. E as fórmulas dessa página podem ser usadas para este caso particular (considerando valores escalares):

$$a_T = \frac{dv}{dt} = \frac{d(\omega R)}{dt} = R \frac{d \omega}{dt} \tag{3A}$$
$$a_N = \frac{v^2}{R} = \frac{(\omega R)^2}{R} = \omega^2 R \tag{3B}$$
Se o movimento é circular uniforme, a aceleração tangencial é nula porque ω = constante. Assim, a aceleração é igual ao seu componente normal, conforme indicado em (b) da figura. No movimento circular, o componente normal da aceleração é também denominado aceleração centrípeta.

Aceleração no Movimento Circular
Fig 3-I

De outra forma, a aceleração no movimento circular uniforme pode ser deduzida a partir do produto vetorial dado em (1C). Por definição $\vec a = d \vec v\big/ dt$. Sendo a velocidade angular constante, ocorre $\vec a = \vec \omega \times d \vec r \big/ dt = \vec \omega \times \vec v$. Em (b) da figura pode-se notar que esse produto vetorial deve ser um vetor normal ao vetor da velocidade.

A aceleração angular $\vec \alpha$ é definida de forma similar à da aceleração convencional:

$$\vec \alpha = \frac{d \vec \omega}{dt} \tag{3C}$$
No Sistema Internacional, a unidade básica de aceleração angular é o radiano por segundo por segundo (rad/s2).

Um movimento circular é dito uniformemente acelerado se a aceleração angular é constante. E as relações de velocidade angular e deslocamento angular são dadas pelas igualdades abaixo, que podem ser deduzidas por meios semelhantes aos do movimento retilíneo uniformemente acelerado:

$$\omega = \omega_0 + \alpha t \\ \phi = \phi_0 + \omega_0 t + \tfrac{1}{2} \alpha t^2 \tag{3D}$$

4) Exemplo I

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No conceito prático de tempo, a Terra dá uma revolução completa em um dia ou 24 x 60 x 60 = 86.400 segundos. Em princípio, pode-se imaginar que este seja o período de rotação da Terra e calcular sua velocidade angular de acordo com a igualdade (2C): P = 2 π / ω. Entretanto, o período real é ligeiramente menor. A figura a seguir (sem escala) procura dar uma ideia do motivo.

Dia Solar Médio e Dia Sideral
Fig 4-I

O dia prático, também denominado dia solar médio, representa o intervalo entre sucessivas observações do Sol na mesma direção. Supõe-se que, em um determinado instante, a Terra está na posição O e um observador vê o Sol na direção OA. Depois de uma revolução completa em torno do seu eixo, a Terra terá se deslocado para uma posição O' na sua órbita. Desde que o giro foi de 360º, a direção de observação O'A' é paralela à anterior OA. Mas isso significa que o Sol não será mais visto na mesma direção. Assim, para observar o Sol na mesma direção aparente (O'A''), a Terra deverá girar um pouco além do seu período real de rotação. Esse período real de rotação da Terra, denominado dia sideral, é aproximadamente 86.164 segundos. Usando a fórmula mencionada (P = 2 π / ω ou ω = 2 π / P), o resultado é ωTerra ≈ 7,292 10−5 rad/s.


5) Exemplo II

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Neste exemplo, deseja-se calcular a velocidade e a aceleração de um ponto qualquer da superfície terrestre. É usado o valor anterior da velocidade angular, isto é, ωTerra ≈ 7,292 10-5 rad/s. A Terra é considerada esférica, de raio RTerra ≈ 6,372 106 m.

Velocidade Tangencial na Superfície Terrestre
Fig 5-I

Para um ponto A na linha do equador, o raio de rotação é OA = RTerra. Para uma latitude genérica β (ponto B), o raio de rotação é O'B = RTerra cos β.

Conforme (1A) do tópico Velocidade Angular, a velocidade tangencial, em m/s, para um ponto genérico é:

v = ω R = ωTerra RTerra cos β ≈ 465 cos β

Desde que o movimento é uniforme, há apenas aceleração normal, dada pela igualdade (3B) do tópico Aceleração no Movimento Circular:

aN = ωTerra2 RTerra cos β ≈ 3,39 10-2 cos β


6) Exemplo III

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O Efeito Coriolis foi descoberto pelo engenheiro e matemático francês Gustave-Gaspard Coriolis em 1835: seja um projétil lançado, na direção norte, a partir de um ponto O na linha do equador (apenas por clareza. Não necessariamente nela). A inclinação vertical do lançador e a velocidade inicial são tais que o projétil deve atingir um alvo A na direção norte.

Considerando a Terra estática, sem rotação, o projétil atinge o alvo A após percorrer uma trajetória parabólica (desprezando a resistência do ar) em um determinado intervalo de tempo Δt, conforme fórmulas já vistas.

Com a hipótese real da Terra em rotação, para um observador estacionário fora dela, após o intervalo Δt o alvo A está em A'. Entretanto, o projétil atinge um ponto P um pouco a leste de A'.

Efeito Coriolis
Fig 6-I

Na figura, ω é a velocidade angular da Terra, R o raio de rotação do ponto inicial O e r, o raio do alvo A. Quando o projétil é lançado, a sua velocidade tangencial é $V = \omega R$, que é mantida porque o projétil não mais está em contato com a Terra. Mas a velocidade tangencial do alvo A é $V = \omega r$, que é menor que V porque $r < R$. Assim, depois do intervalo Δt, o projétil percorre uma trajetória tangencial maior que a do alvo e, portanto, atinge o solo em um ponto P conforme figura.

Rigorosamente, não há desvio de trajetória do projétil. Ocorre apenas porque, na Terra, o nosso sistema de coordenadas gira com ela. E o desvio pode ser visto como o resultado de uma força ou aceleração atuante no projétil. Por isso, é também chamado de força ou aceleração de Coriolis.

Desde que a velocidade de rotação da Terra é baixa, o fenômeno só tem implicações significativas quando as distâncias são grandes, como trajetória de um míssil, rota de um avião, etc.

Se o caso for analisado com movimento na direção oposta à da figura (para o hemisfério sul), pode ser deduzido que o desvio tem direção oposta. Isso afeta a formação de furacões. No hemisfério norte a espiral tem sentido anti-horário e, no sul, sentido horário.
Referências
ALONSO, Marcelo. FINN, Edward. Fundamental University Physics. Addison-Wesley, 1967.
BOUCHÉ, Ch. LEITNER, A. SANS, F. Dubbel - Manual da Construção de Máquinas. São Paulo, Hemus, 1979.
GIEK, Kurt. Manual de Fórmulas Técnicas. São Paulo, Hemus.
HALLIDAY, David. RESNIK, Robert. Física. Rio, Ao Livro Técnico, 1970.
HYPERPHYSICS. http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu.

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