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Cinemática I-30

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Tópicos: Movimento com Aceleração Constante |


1) Movimento com Aceleração Constante

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Desprezando a resistência do ar, o movimento, em pequenas altitudes e distâncias, de um corpo de massa m sujeito somente à ação do seu próprio peso P pode ser considerado uma aproximação para um movimento de aceleração constante igual à aceleração da gravidade g. Portanto, o peso é a única força atuante, calculado por P = mg, conforme Segunda Lei de Newton.

Nessas condições, pode-se obter aproximações simples para diversos casos práticos, como a queda livre de um corpo, o arremesso de um corpo por uma pessoa, um projétil disparado por uma arma e outros similares. A Figura 1-I mostra os conceitos básicos de velocidade vetorial que serão aqui empregados.

Um corpo segue uma trajetória genérica dada pela curva indicada. Em um determinado instante, ele está na posição P(x,y). As coordenadas desse ponto são os componentes do vetor de posição $\vec r$.

Vetores Deslocamento, Velocidade e Aceleração de um Corpo em Movimento
Fig 1-I

Considerando tempo a variável t, a velocidade é um vetor dado por:

$$\vec v = \frac{d \vec r}{dt} \tag{1A}$$
O vetor aceleração, não necessariamente alinhado com a velocidade, é dado por:

$$\vec a = \frac{d \vec v}{dt} \tag{1B}$$
A Figura 1-II dá um diagrama típico de posições. O nível do solo é suposto coincidente com o eixo X e o corpo é lançado da posição inicial A (altura y0) com velocidade $\vec v_0$ e ângulo α com a horizontal. O vetor aceleração passa a ser simbolizado por $\vec g$, indicando a aceleração da gravidade, supostamente constante em qualquer ponto da trajetória do corpo.

Aplicando procedimentos de integração similares aos da Página Anterior, com grandezas vetoriais em vez de escalares, chega-se a resultados semelhantes:

$$\vec v = \vec v_0 + \vec g t \tag{1C}$$
$$\vec r = \vec r_0 + \vec v_0 t + \tfrac{1}{2} \vec g t^2 \tag{1D}$$
Esta última é a equação genérica da posição do corpo em relação ao tempo, que corresponde a uma trajetória parabólica indicada na figura. Desde que a aceleração da gravidade é constante, o caminho depende apenas da posição e velocidade iniciais.

Curva de Deslocamento Genérica para um Movimento com Aceleração Constante
Fig 1-II

As relações anteriores podem ser dadas em termos de componentes nos eixos de coordenadas, de forma a se trabalhar com módulos dos vetores e ângulos. Desde que a aceleração da gravidade atua sempre na direção Y e para baixo, o seu componente horizontal é nulo e o sinal do componente vertical é negativo. Assim,

$$v_x = v_{0x} = v_0 \cos \alpha \tag{1E}$$
$$v_y = v_{0y} - gt = v_0 \sin \alpha - gt \tag{1F}$$
Considerando também que o componente horizontal do vetor posição inicial é nulo,

$$r_x = x = v_{0x} t = v_0 (\cos \alpha) t \tag{1G}$$
$$r_y = y = y_0 + v_0 (\sin \alpha) t - \tfrac{1}{2} g t^2 \tag{1H}$$
No ponto B (altura máxima), tem-se vy = 0. Usando (1F) para determinar o tempo e (1H) para a altura, chega-se a:

$$t_B = (v_0 \sin \alpha) \big/ g\\y_B = y_0 + (v_0^2 \sin^2 \alpha) \big/ (2g) \tag{1I}$$
Isolando o tempo em (1G), t = x / (v0 cos α). Substituindo em (1H) e simplificando,

$$y = y_0 + (\tan \alpha) x - \frac{g}{2 v_0^2 \cos^2 \alpha} x^2 \tag{1J}$$
Essa igualdade (coordenada y em função de x) demonstra a trajetória parabólica do movimento.

A simetria da curva permite deduzir que o tempo em D é o dobro do tempo em B, já visto em (1I): $t_D = 2 t_B = 2 v_0 \sin \alpha \big/ g$. Substituindo em (1G) e simplificando,

$$x_D = v_0^2 (\sin 2\alpha) \big/g \tag{1K}$$
Essa relação indica que, para $y_0 = 0$, o máximo alcance é obtido com $\alpha = 45°$.

Alguns exemplos: a Figura 1-III mostra alguns casos particulares em relação ao diagrama genérico da Figura 1-II.

Em (a), o corpo é lançado na horizontal.

Em (b), com v0x = v0y = 0 ou v0 = 0, há a queda livre de um corpo.

Em (c), o corpo é lançado verticalmente para cima.

Em (d), ocorre y0 = 0, ou seja, o corpo é lançado ao nível do solo.

Casos Particulares de Movimentos com Aceleração Constante
Fig 1-III

Um exemplo numérico para a última hipótese: seja um projétil disparado por uma arma, com ângulo α = 35º. Pode-se estimar v0 = 250 m/s. Conforme (1K), o alcance é xD = 2502 sin (2 × 35) / 9,81 ≈ 5897 m. A altura máxima, segundo (1I), é yB = 0 + 2502 sin2 35 / (2 × 9,81) ≈ 1048 m (em função da velocidade alta, o efeito do atrito com o ar deve ser significativo e, portanto, resultados práticos devem ser inferiores).
Referências
ALONSO, Marcelo. FINN, Edward. Fundamental University Physics. Addison-Wesley, 1967.
BOUCHÉ, Ch. LEITNER, A. SANS, F. Dubbel - Manual da Construção de Máquinas. São Paulo, Hemus, 1979.
GIEK, Kurt. Manual de Fórmulas Técnicas. São Paulo, Hemus.
HALLIDAY, David. RESNIK, Robert. Física. Rio, Ao Livro Técnico, 1970.
HYPERPHYSICS. http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu.

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