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Cinemática I-20

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Tópicos: Movimento Retilíneo | Movimento Retilíneo Uniforme | Movimento Retilíneo Uniformemente Acelerado | Exemplo |


1) Movimento Retilíneo

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Na Página Anterior, foi dado que o vetor velocidade é sempre tangente à curva do caminho percorrido pelo corpo. Se a curva é uma reta, um segmento tangente coincide com ela. Portanto, o vetor velocidade está sobre essa reta. Também visto que o componente normal da aceleração é inversamente proporcional ao raio de curvatura, que é infinito no caso de reta. Assim, o componente normal é nulo e o vetor aceleração também está sobre a reta.

Se o caminho coincide com um eixo do sistema de coordenadas, por exemplo X, o vetor de posição também está sobre esse eixo. Com todos os vetores na mesma linha, pode-se dispensar a notação vetorial e trabalhar apenas com escalares no caso de movimento retilíneo:

$$v = \frac{dx}{dt} \tag{1A}$$
$$a = \frac{dv}{dt} \tag{1B}$$
Se v > 0, o movimento tem sentido da esquerda para a direita e o contrário se v < 0. Se a e v têm o mesmo sinal, o valor absoluto da velocidade aumenta com o tempo e vice-versa. Pode-se usar o eixo Y no lugar do X, de acordo com a conveniência para o caso.


2) Movimento Retilíneo Uniforme

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Nesse caso, a velocidade v é constante e a aceleração, segundo (1B), é nula. É o único movimento que tem rigorosamente velocidade constante. Se o caminho não é reto, mesmo que a intensidade da velocidade seja constante, a direção do vetor velocidade varia e, portanto, a aceleração será sempre diferente de zero.

Conforme (a) da figura a seguir, considera-se um uma posição inicial x0 para o tempo t=0 e uma posição genérica x para o tempo t.

Movimento Retilíneo Uniforme
Fig 2-I

Desde que v é constante, pode-se reagrupar e integrar (1A) na forma:

$$\int_{x_0}^x dx = v \int_0^t dt \tag{2A}$$
Resolvendo, x − x0 = v (t − 0). Portanto,

$$x = x_0 + vt \tag{2B}$$
Em (b) e (c) da Figura 2-1 são dados, respectivamente, os gráficos em relação ao tempo da velocidade v (constante) e distância percorrida x conforme equação anterior.


3) Movimento Retilíneo Uniformemente Acelerado

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Nesse caso, a aceleração é constante. De forma similar à do tópico anterior, considera-se, conforme (a) da Figura 3-I, o intervalo de x0 a x, correspondente ao intervalo de tempo de 0 a t e à variação de velocidade de v0 a v.

Movimento Retilíneo Uniformemente Acelerado
Fig 3-I

Reagrupando e integrando (1B),

$$\int_{v_0}^v dv = a \int_0^t dt \tag{3A}$$
Resolvendo e reagrupando,

$$v = v_0 + at \tag{3B}$$
Rearranjando e integrando (1A) com substituição de v dado em (3B),

$$\int_{x_0}^x dx = \int_0^t (v_0 + at) dt = v_0 \int_0^t dt + a \int_0^t t dt \tag{3C}$$

Resolvendo e reagrupando,

$$x = x_0 + v_0 t + \tfrac{1}{2} a t^2 \tag{3D}$$
Em (b) e (c) da Figura 3-I são dados os gráficos, em relação ao tempo, da velocidade (equação de uma reta) e da posição x (equação de uma parábola).

Nas proximidades da superfície terrestre, pode-se considerar a aceleração da gravidade invariável. Se desprezada a resistência do ar, a queda livre de um corpo é uma aproximação comum de movimento retilíneo uniformemente acelerado.


4) Exemplo

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Na Figura 4-I, ABC é o trajeto de um projétil que é disparado verticalmente do ponto A com velocidade 100 m/s, na altura de 50 m acima do solo. As linhas AB e BC, teoricamente coincidentes, são exibidas separadas por questão de clareza. Deseja-se saber a altura máxima alcançada (ponto B) e a velocidade com que o projétil atinge o solo (ponto C). A resistência do ar é desprezada.

Solução: após o disparo, a única força atuante no projétil é o seu próprio peso. Portanto, a sua aceleração é constante e igual à aceleração da gravidade, significando um movimento retilíneo uniformemente acelerado com a = g ≈ − 9,81 m/s2.

Exemplo: projétil lançado na vertical
Fig 4-I

Desde que o movimento se dá ao longo do eixo Y, substitui-se o símbolo na igualdade (3D):

y = y0 + v0 t + (1/2) a t2. Onde:

y0 = yA = 50 m

v0 = vA = 100 m/s

a = g ≈ − 9,81 m/s2 (sinal negativo porque é para baixo)

Assim, y = 50 + 100 t − 4,9 t2

Da relação (3B), v = 100 − 9,81 t. Na altura máxima, a velocidade do projétil é nula ou vB = 0. Assim, o tempo é dado por:

0 = 100 − 9,81 tB. Ou tB ≈ 10,2 s. Substituindo o valor na igualdade anterior,

yB = 50 + 100 10,2 − 4,9 10,22 = 50 + 1020 − 509,8 ≈ 560,2 m

Esse valor é a altura máxima, a partir do solo, alcançada pelo projétil.

Ao atingir o solo, yC = 0. Assim:

0 = 50 + 100 tC − 4,9 tC2

Essa é uma equação do segundo grau e, portanto, há duas soluções. Uma delas tem valor negativo, o que significaria um tempo anterior ao lançamento e não teria sentido no caso. A outra solução é tC ≈ 20,9 s. Substituindo na equação da velocidade,

vC = 100 − 9,81 20,9 ≈ − 105 m/s. O sinal negativo está de acordo com o sentido para baixo do movimento.
Referências
ALONSO, Marcelo. FINN, Edward. Fundamental University Physics. Addison-Wesley, 1967.
BOUCHÉ, Ch. LEITNER, A. SANS, F. Dubbel - Manual da Construção de Máquinas. São Paulo, Hemus, 1979.
GIEK, Kurt. Manual de Fórmulas Técnicas. São Paulo, Hemus.
HALLIDAY, David. RESNIK, Robert. Física. Rio, Ao Livro Técnico, 1970.
HYPERPHYSICS. http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu.

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