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Cinemática I-10

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Tópicos: Velocidade | Aceleração | Componentes da Aceleração |


1) Velocidade

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É uma grandeza vetorial porque, além da intensidade, tem uma direção. É definida pela variação da posição de um corpo em relação ao tempo. Seja conforme Figura 1-I (a): um corpo segue um caminho genérico dado pela curva C.

Conceito de Velocidade Vetorial
Fig 1-I

Num determinado instante t, ele está no ponto 1, cuja posição é dada pelo vetor $\vec r$. No instante t + Δt, ele está no ponto 2, cuja posição é dada pelo vetor $\vec r + \Delta \vec r$. Entre esses pontos, o espaço percorrido é o comprimento da curva ΔC.

O vetor $\Delta \vec r$ é uma aproximação para o comprimento da curva, de forma que a velocidade aproximada no ponto 1 pode ser dada pelo vetor:

$$ \vec v \approx \frac{\Delta \vec r}{\Delta t} \tag{1A}$$
Quanto menor a diferença, maior a aproximação com o comprimento da curva. Assim, no limite,

$$ \vec v = \frac{d \vec r}{d t} \tag{1B}$$
Essa relação é a velocidade instantânea em um determinado ponto. Por ter a mesma direção da variação infinitesimal do deslocamento ao longo da curva, o vetor velocidade é sempre tangente a essa curva, conforme indicado em (b) da Figura 1-I. No Sistema Internacional, a unidade fundamental de velocidade é o metro por segundo (m/s).

Por ser um vetor, a velocidade pode ser decomposta na soma de outros. É comum o uso dos componentes nos eixos das coordenadas. No caso de movimento bidimensional,

$$\vec v = \vec v_x + \vec v_y \tag{1C}$$

2) Aceleração

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É a variação da velocidade em relação ao tempo. Na Figura 2-I (a), um corpo segue uma trajetória genérica C. No ponto 1 tem uma velocidade $\vec v$ e no ponto 2 tem uma velocidade $\vec v + \Delta \vec v$.

Conceito de Aceleração Vetorial
Fig 2-I

Graficamente, o vetor diferença de velocidades pode ser visto em (b) da mesma figura. Portanto, a aceleração aproximada no ponto 1 é dada por:

$$ \vec a \approx \frac{\Delta \vec v}{\Delta t} \tag{2A}$$
De forma similar à do tópico anterior, a situação limite dá a definição de aceleração instantânea em um determinado ponto da trajetória:

$$ \vec a = \frac{d \vec v}{d t} \tag{2B}$$
Ao contrário da velocidade, o vetor aceleração não tem uma relação geométrica definida com a curva. Em geral, não é tangente nem normal à trajetória do corpo. Ver (c) da figura. A unidade básica no Sistema Internacional é o metro por segundo ao quadrado (m/s2).


3) Componentes da Aceleração

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Considera-se a decomposição do vetor aceleração nas direções normal e tangente à curva (Figura 3-I), ou seja, a aceleração é dada pela soma da aceleração normal com a aceleração tangencial:

$$\vec a = \vec a_N + \vec a_T \tag{3A}$$
Componentes Normal e Tangencial da Aceleração
Fig 3-I

Em (b) da figura estão representados os vetores unitários para os eixos de coordenadas xy (i e j) e para os eixos na direção normal e tangencial à curva (N e T). Deduz-se então:

$$\vec T = \vec i \cos \phi + \vec j \sin \phi \tag{3B}$$
$$\vec N = -\vec i \sin \phi + \vec j \cos \phi \tag{3C}$$
Derivando o vetor tangencial em relação ao tempo,

$$\frac{d \vec T}{dt} = - \vec i \sin \phi \frac{d \phi}{dt} + \vec j \cos \phi \frac{d \phi}{dt} \tag{3D}$$
Considerando (3C),

$$\frac{d \vec T}{dt} = - \vec N \frac{d \phi}{dt} \tag{3E}$$
Seja dC o comprimento infinitesimal da curva compreendida por dϕ. Assim,

$$\frac{d \phi}{dt} = \frac{d \phi}{dC} \frac{d C}{dt} \tag{3F}$$
Mas dϕ/dC é a curvatura da trajetória C, equivalente ao inverso do raio de curvatura RC da figura. E dC/dt é a relação entre espaço percorrido e tempo no intervalo infinitesimal, ou seja, é a intensidade do vetor velocidade. Portanto,

$$\frac{d \vec T}{dt} = \vec N \frac{v}{R_C} \tag{3G}$$
A velocidade pode ser dada pelo produto da sua magnitude v pelo vetor unitário tangencial, isto é, $\vec v = v \vec N$. Desde que aceleração é a sua derivada em relação ao tempo e considerando a propriedade das diferenciais d(xy) = x dy + y dx,

$$\vec a = \frac{d \vec v}{dt} = \frac{dv}{dt} \vec T + v \frac{d \vec T}{dt} \tag{3H}$$
Considerando (3G).

$$\vec a = \frac{dv}{dt} \vec T + \frac{v^2}{R_C} \vec N \tag{3I}$$
Essa igualdade define os componentes tangencial e normal da aceleração:

$$\vec a_T = \frac{dv}{dt} \vec T \\ \vec a_N = \frac{v^2}{R_C} \vec N \tag{3J}$$
Referências
ALONSO, Marcelo. FINN, Edward. Fundamental University Physics. Addison-Wesley, 1967.
BOUCHÉ, Ch. LEITNER, A. SANS, F. Dubbel - Manual da Construção de Máquinas. São Paulo, Hemus, 1979.
GIEK, Kurt. Manual de Fórmulas Técnicas. São Paulo, Hemus.
HALLIDAY, David. RESNIK, Robert. Física. Rio, Ao Livro Técnico, 1970.
HYPERPHYSICS. http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu.

Topo | Rev: Jan/2018