Anotações & Informações | Fim pág | Voltar |

Relações Trigonométricas

| Índice do grupo | Página anterior | Próxima página |

Tópicos: Relações Diversas | Relações de Funções Inversas |

1) Relações Diversas

(Topo | Fim pág)

$$\sin a = 2 \sin \tfrac{a}{2}\ \cos \tfrac{a}{2}$$
$$\cos a = \cos^2 \tfrac{a}{2} - \sin^2 \tfrac{a}{2}$$
$$\tan a = \frac{\sin a}{\cos a}$$
$$\cot a = \frac{\cos a}{\sin a}$$
$$\sin a = \tan a \Big/ \sqrt{1 + \tan^2 a}$$
$$\cos a = \cot a \Big/ \sqrt{1 + \cot^2 a}$$
$$\tan a = \sin a \Big/ \sqrt{1 - \sin^2 a}$$
$$\cot a = \cos a \Big/ \sqrt{1 - \cos^2 a}$$
$$\sin a = \sqrt{\cos^2 a - \cos 2a}$$

$$\cos a = 1 - 2 \sin^2 \tfrac{a}{2}$$
$$\tan a = \sqrt{\tfrac{1}{\cos^2 a} - 1}$$
$$\cot a = \sqrt{\tfrac{1}{\sin^2 a} - 1}$$
$$\sin a = \sqrt{(1 - \cos 2a) \big/ 2}$$
$$\cos a = \sqrt{(1 + \cos 2a) \big/ 2}$$
$$\tan a = \sqrt{1 - \cos^2 a} \Big/ \cos a$$
$$\cot a = \sqrt{1 - \sin^2 a} \Big/ \sin a$$
$$\sin a = 1 \Big/ \sqrt{1 + \cot^2 a}$$
$$\cos a = 1 \Big/ \sqrt{1 + \tan^2 a}$$

$$\sin 2a = 2 \sin a\ \cos a$$
$$\cos 2a = \cos^2 a - \sin^2 a$$
$$\cos 2a = 2 \cos^2 a - 1$$
$$\cos 2a = 1 - 2 \sin^2 a$$
$$\tan 2a = (2 \tan a) \big/ (1 - \tan^2 a)$$
$$\tan 2a = 2 / (\cot a - \tan a)$$
$$\cot 2a = (\cot^2 a - 1) \big/ (2 \cot a)$$
$$\cot 2a = \tfrac{1}{2} \cot a - \tfrac{1}{2} \tan a$$

$$\sin a/2 = \sqrt{(1 - \cos a) \big/ 2}$$
$$\cos a/2 = \sqrt{(1 + \cos a) \big/ 2}$$
$$\tan a/2 = \sin a \big/ (1 + \cos a)$$
$$\cot a/2 = \sin a \big/ (1 - \cos a)$$
$$\tan a/2 = (1 - \cos a) \big/ \sin a$$
$$\cot a/2 = (1 + \cos a) \big/ \sin a$$
$$\tan a/2 = \sqrt{ (1 - \cos a) \big/ (1 + \cos a)}$$
$$\cot a/2 = \sqrt{ (1 + \cos a) \big/ (1 - \cos a)}$$

2) Relações de Funções Inversas

(Topo | Fim pág)

$$\arccos x = \tfrac{\pi}{2} - \arcsin x$$
$$\mathrm{arccot\ } x = \tfrac{\pi}{2} - \arctan x$$
$$\arcsin a \pm \arcsin b = \arcsin \big(a\sqrt{1-b^2} \pm b\sqrt{1 - a^2}\big)$$
$$\arccos a \pm \arccos b = \arccos \big(ab \mp \sqrt{1-a^2} \sqrt{1-b^2}\big)$$
$$\arctan a \pm \arctan b = \arctan \Big( \frac{a \pm b}{1 \mp ab} \Big)$$
$$\mathrm{arccot\ } a \pm \mathrm{arccot\ } b = \mathrm{arccot} \Big( \frac{ab \mp 1}{b \pm a} \Big)$$
Para x > 0:

$$\arcsin x = \arccos \sqrt{1 - x^2} = \arctan \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} = \mathrm{arccot\ } \frac{\sqrt{1 - x^2}}{x}$$
$$\arccos x = \arcsin \sqrt{1 - x^2} = \arctan \frac{\sqrt{1 - x^2}}{x} = \mathrm{arccot\ } \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}}$$
$$\arctan x = \arcsin \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}} = \arccos \frac{1}{\sqrt{1 + x^2}} = \mathrm{arccot\ } \frac{1}{x}$$
$$\mathrm{arccot\ } x = \arcsin \frac{1}{\sqrt{1 + x^2}} = \arccos \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}} = \arctan \frac{1}{x}$$

Para x < 0:

$$\arcsin (-x) = - \arcsin x\\ \arccos (-x) = \pi - \arccos x\\ \arctan (-x) = - \arctan x\\ \mathrm{arccot\ } (-x) = \pi - \mathrm{arccot\ } x$$
Referências
BOUCHÉ, Ch; LEITNER, A; SASS, F. Dubbel - Manual da Construção de Máquinas. São Paulo: Hemus, 1979.
GIEK, Kurt. Manual de Fórmulas Técnicas. São Paulo: Hemus.
VYGODSKY, M. Mathematical Handbook. Moscow: Mir Publishers, 1971.

Topo | Rev: Fev/2008