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Relações Trigonométricas

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Tópicos: Relações Básicas | Relações com Quadrantes | Relações com Soma / Diferença de Ângulos | Relações com Soma / Diferença / Produto de Funções|

1) Relações Básicas

(Topo | Fim pág)

$$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$$
$$\tan \alpha \ \cot \alpha = 1$$
$$1 + \tan^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha}$$
$$1 + \cot^2 \alpha = \frac{1}{\sin^2 \alpha}$$

2) Relações com Quadrantes

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Valores de ângulos em graus. Conversão para radianos:

$$90 \rightarrow \pi / 2\\ 180 \rightarrow \pi\\ 270 \rightarrow 3 \pi / 2\\ 360 \rightarrow 2 \pi$$
$$\sin (-a) = - \sin a\\ \cos (-a) = + \cos a\\ \tan (-a) = - \tan a\\ \cot (-a) = - \cot a$$
$$\sin (90 \pm a) = + \cos a\\ \sin (180 \pm a) = \mp \sin a\\ \sin (270 \pm a) = - \cos a\\ \sin (360 \pm a) = \pm \sin a$$
$$\cos (90 \pm a) = \mp \sin a\\ \cos (180 \pm a) = - \cos a\\ \cos (270 \pm a) = \pm \sin a\\ \cos (360 \pm a) = + \cos a$$
$$\tan (90 \pm a) = \mp \cot a\\ \tan (180 \pm a) = \pm \tan a\\ \tan (270 \pm a) = \mp \cot a\\ \tan (360 \pm a) = \pm \tan a$$
$$\cot (90 \pm a) = \mp \tan a\\ \cot (180 \pm a) = \pm \cot a\\ \cot (270 \pm a) = \mp \tan a\\ \cot (360 \pm a) = \pm \cot a$$
Para qualquer k inteiro,

$$\sin (a \pm k\ 360) = + \sin a\\ \cos (a \pm k\ 360) = + \cos a\\ \tan (a \pm k\ 360) = + \tan a\\ \cot (a \pm k\ 360) = + \cot a$$

3) Relações com Soma / Diferença de Ângulos

(Topo | Fim pág)

$$\sin(a \pm b) = \sin a \cos b \pm \cos a \sin b$$
$$\cos(a \pm b) = \cos a \cos b \mp \sin a \sin b$$

$$\tan(a \pm b) = \frac{\tan a \pm \tan b}{1 \mp \tan a \tan b}$$
$$\cot(a \pm b) = \frac{\cot a \ \cot b \mp 1}{\cot b \pm \cot a}$$


4) Relações com Soma / Diferença / Produto de Funções

(Topo | Fim pág)

$$\sin a + \sin b = 2\ \sin \frac{a+b}{2} \ \cos \frac{a-b}{2}$$
$$\sin a - \sin b = 2\ \cos \frac{a+b}{2} \ \sin \frac{a-b}{2}$$
$$\cos a + \cos b = 2\ \cos \frac{a+b}{2} \ \cos \frac{a-b}{2}$$
$$\cos a - \cos b = 2\ \sin \frac{a+b}{2} \ \sin \frac{a-b}{2}$$
$$a \sin x + b \cos x = \sqrt{a^2 + b^2} \sin(x + \phi)$$
$$\text{Onde }\phi = \left\{\begin{array}{ll}\mathrm{arctan}(b/a) \quad a \geq 0\\\mathrm{arctan}(b/a) \pm \pi \quad a < 0\end{array}\right.$$

$$\tan a\ \pm\ \tan b = \frac{\sin(a \pm b)}{\cos a \cos b}$$
$$\cot a\ \pm\ \cot b = \frac{\sin(b \pm a)}{\sin a \sin b}$$
$$\sin a\ \sin b = \tfrac{1}{2} \cos(a-b) - \tfrac{1}{2} \cos(a+b)$$
$$\sin a\ \cos b = \tfrac{1}{2} \sin(a+b) + \tfrac{1}{2} \sin(a-b)$$
$$\cos a\ \cos b = \tfrac{1}{2} \cos(a+b) + \tfrac{1}{2} \cos(a-b)$$
$$\tan a\ \tan b = \frac{\tan a + \tan b}{\cot a + \cot b} = - \frac{\tan a - \tan b}{\cot a - \cot b}$$
$$\cot a\ \cot b = \frac{\cot a + \cot b}{\tan a + \tan b} = - \frac{\cot a - \cot b}{\tan a - \tan b}$$
$$\cot a\ \tan b = \frac{\cot a + \tan b}{\tan a + \cot b} = - \frac{\cot a - \tan b}{\tan a - \cot b}$$
Referências
BOUCHÉ, Ch; LEITNER, A; SASS, F. Dubbel - Manual da Construção de Máquinas. São Paulo: Hemus, 1979.
GIEK, Kurt. Manual de Fórmulas Técnicas. São Paulo: Hemus.
VYGODSKY, M. Mathematical Handbook. Moscow: Mir Publishers, 1971.

Topo | Rev: Fev/2008