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Transformadores Elétricos VI

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Tópicos: Modelo T - Exemplo de Cálculo | Relação para Número de Espiras |

01) Modelo T - Exemplo de Cálculo

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No circuito da Figura 1-I, são dados os valores a seguir.

VS = (10 cos 1000 t) V
L1 = 2 mH
L2 = 20 mH
M  = 4 mH
R  = 6 Ω
C  = 50 µF


Determinar as correntes em cada lado do transformador bem como a tensão VL da série R e C.

Transformador com carga
Fig 1-I

Em termos complexos, a tensão da fonte é VS = 10 V ∠ 0° com ω = 1000 rad/s. Assim,

XL1 = j 1000 × 2 × 0,001 = j2 Ω
XL2 = j 1000 × 20 × 0,001 = j20 Ω
X = j 1000 × 4 × 0,001 = j4 Ω
X = − j / (1000 × 50 × 0,000001) = −j20 Ω

A Figura 1-II mostra o modelo T segundo página anterior, com valores numéricos dos dados acima. Nessa figura, Im1 e Im2 são as correntes das malhas para análise conforme sistema de equações, dado em forma matricial na citada página.

Modelo T e malhas
Fig 1-II

$$\begin{pmatrix} -j2+j4 &-j4 \\ -j4 & j4+j16+6-j20 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} I_{m1}\\ I_{m2}\\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10\\ 0\\ \end{pmatrix}$$

O resultado desse sistema é Im1 ≈ 3 A∠−36,9° e Im2 ≈ 2 A∠53,1°. Portanto, IS = Im1 ≈ 3 A∠−36,9°. Corrente da carga IL = Im2 ≈ 2 A∠53,1°. Tensão da carga VL = (6 − j20) IL ≈ 41,8 V∠−20,2°


02) Relação para Número de Espiras

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A Figura 2-I representa um transformador supostamente ideal, isto é, a resistência elétrica dos condutores é desprezível e o material do núcleo é magnético ideal, de forma que a indução magnética B é uniforme e o mesmo fluxo magnético Φ atravessa ambos os enrolamentos. Considerando um enrolamento genérico, segundo a lei de Faraday,

$$v = N {d\Phi \over dt } \tag{2A}$$
Presumindo uma tensão alternada senoidal (onde vef é o valor eficaz),

$$v = \sqrt 2 v_{ef} \cos \omega t \tag{2B}$$
De (2A), o fluxo magnético pode ser obtido por integração,

$$\Phi = {1 \over N} \int v dt \tag{2C}$$
Substituindo o valor de v e resolvendo a integral,

$$\Phi = { \sqrt 2 v_{ef} \over \omega N } \sin \omega t \tag{2D}$$
Transformador ideal
Fig 2-I

Em geral, os parâmetros são estabelecidos para o valor máximo de Φ, que ocorre com sin ωt = 1. Assim,

$$\Phi = { \sqrt 2 v_{ef} \over \omega N } \tag{2E}$$
Φ  : fluxo magnético (weber Wb)
vef: valor eficaz da tensão no enrolamento (volts V)
ω  : velocidade angular (rad/s)
N  : número de espiras

Das relações do eletromagnetismo,

$$\Phi = B\ S \tag{2F}$$
B: indução magnética (tesla T)
S: área da seção (m2)


Do movimento periódico,

$$\omega = 2 \pi f \tag{2G}$$
f: frequência (hertz Hz)

Inserindo estas últimas em (2E), chega-se ao resultado:

$$v_{ef} = {2 \pi \over \sqrt 2} B\ N\ S\ f \approx 4,44\ B\ N\ S\ f \tag{2H}$$
Exemplo: um enrolamento de um transformador deve trabalhar com 10 V e 50 kHz. O núcleo é ferrite, tem área de 0,148 cm2 e deve operar com uma indução magnética máxima de 0,2 T. O número de espiras para esse enrolamento é calculado com a fórmula (2H),

N = 10 / (4,44 × 0,2 × 0,0000148 × 50000) ≈ 15,2 espiras.
Referências
Brophy, James J. Basic Electronics for Scientists. McGraw-Hill, 1977.
Giek, Kurt. Manual de Fórmulas Técnicas. São Paulo, Hemus.
Halliday, David. Resnik, Robert. Física. Rio, Ao Livro Técnico, 1970.
Hyperphysics. http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu.
US Navy. Basic Electronics. Hemus, 1976.

Topo | Rev: Mai/2018