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Transformadores Elétricos V

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Tópicos: Indutância Mútua - Modelos T e Π | Autotransformador |

01) Indutância Mútua - Modelos T e Π

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O circuito da Figura 1-I é o básico com indicação da indutância mútua, conforme visto em página anterior. Primário e secundário estão interligados em um lado comum. Assim, a contribuição da indutância mútua pode ser positiva ou negativa, dependendo dos sentidos dos enrolamentos.

Indutância mútua - Circuito básico
Fig 1-I

O modelo T segundo Figura 1-II pode ser confirmado pela aplicação da lei das tensões em ambos os lados:

V1 = jω (L1 ∓ M) I1 ± jωM (I1 + I2) = jωL1 I1 ∓ jωM I1 ± jωM I1 ± jωM I2

$$V_1 = j\omega L_1 I_1 \pm j\omega M I_2 \tag{1A}$$
V2 = jω (L2 ∓ M) I2 ± jωM (I1 + I2) = jωL2 I2 ∓ jωM I2 ± jωM I1 ± jωM I2

$$V_2 = \pm j \omega M I_1 + j \omega L_2 I_2 \tag{1B}$$
Os resultados (1A) e (1B) são iguais às fórmulas vistas nas páginas anteriores. Há opção de sinal (±) na parte de M para indicar caso genérico, de disposição aditiva ou em oposição dos enrolamentos.

Modelo T para indutância mútua
Fig 1-II

As relações para o modelo Π da Figura 1-III podem ser deduzidas com um artifício: o circuito é a conversão Y-Delta do anterior. Desde que associações de indutores são similares às de resistores, podem ser empregadas as fórmulas para circuitos CC.

Modelo PI para indutância mútua
Fig 1-III

Dessas relações, pode ser visto que Rxy = A / Rz, onde A = RxRy + RyRz + RzRx. Adaptando para as indutâncias da Figura 1-II,

A = (L1 ∓ M) (±M) + (±M) (L2 ∓ M) + (L2 ∓ M) (L1 ∓ M) = L1 L2 − M2. Portanto,

$$L_{11} = {A \over L_2 \mp M} \quad L_{12} = {A \over \pm M} \quad L_{22} = {A \over L_1 \mp M}\\ \text{Onde} \quad A = L_1 L_2 - M^2 \tag{1C}$$


02) Autotransformador

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No autotransformador, um dos enrolamentos é comum ao primário e ao secundário. A Figura 2-I mostra a ligação para um autotransformador elevador de tensão. Devido à bobina comum, a potência transmitida é maior que a potência da configuração separada, para as mesmas dimensões físicas. Entretanto, apresenta a desvantagem da ausência de isolação elétrica entre primário e secundário, característica desejável ou indispensável em várias aplicações.

Autotransformador
Fig 2-I

Desde que a indutância mútua é mantida, a análise é basicamente a mesma anterior, com as adaptações para o novo circuito. O circuito da Figura 2-II é o equivalente T para o autotransformador elevador de tensão da Figura 2-I. As igualdades a seguir são obtidas através da lei das tensões de Kirchhoff nos laços do primário e do secundário.

$$V_S = j\omega L_1 I_S - j\omega (L_1 + M) I_L \tag{2A}$$
$$0 = - j\omega (L_1 + M) I_S + [ j\omega (L_1 + 2M + L_2) + Z_L ] I_L \tag{2B}$$

De (2B),

$${I_L \over I_S} = { j\omega (L_1 + M) \over j\omega (L_1 + 2M + L_2) + Z_L } \tag{2C}$$
Autotransformador - Modelo T
Fig 2-II

A relação de tensões é dada por VL / VS = ZL IL / VS. Das relações anteriores após simplificação,

$${V_L \over V_S} = {j \omega(L_1 +M) \over j\omega L_1 Z_L - \omega^2(L_1L_2 - M^2)} \tag{2D}$$

A relação entre indutâncias, conforme dado em página anterior, é:

$${L_2 \over L_1} = \left({N_2 \over N_1}\right)^2 = n^2 \tag{2E}$$
Considerando a hipótese jω (L1 + 2M + L2) >> ZL, a igualdade (2C) é simplificada:

$${I_L \over I_S} = { L_1 + M \over L_1 + 2M + L_2} \tag{2F}$$
Supondo transformador ideal, M = √(L1 L2). Substituindo na anterior e dividindo os termos por L1,

$${I_L \over I_S} = {1+ \sqrt{L_2/L_1} \over 1 + 2\sqrt{L_2/L_1} + (L_2/L_1)} \tag{2G}$$
Considerando (2E),

$${I_L \over I_S} = {1 + n \over (1 + n)^2} = {N_1 \over N_1 + N_2} \tag{2H}$$
A relação de transformação do transformador clássico é dada pela relação entre espiras n = N2 / N1. No caso do autotransformador, o enrolamento comum é adicionado:

$$a = {N_1 + N_2 \over N_1} \tag{2I}$$
Considerando as igualdades e hipóteses anteriores, são deduzidas as relações para correntes e tensões:

$${I_L \over I_S} = {1 \over a} \quad\quad {V_L \over V_S} = a \tag{2J}$$
Referências
Brophy, James J. Basic Electronics for Scientists. McGraw-Hill, 1977.
Giek, Kurt. Manual de Fórmulas Técnicas. São Paulo, Hemus.
Halliday, David. Resnik, Robert. Física. Rio, Ao Livro Técnico, 1970.
Hyperphysics. http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu.
US Navy. Basic Electronics. Hemus, 1976.

Topo | Rev: Mai/2018