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Transformadores Elétricos IV

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Tópicos: Indutância Mútua: Modelos e Análise de Tensões e Correntes

01) Indutância Mútua: Modelos e Análise de Tensões e Correntes

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A igualdade (1H) da página anterior permitem construir um modelo para a indutância mútua no domínio de tempo, conforme Figura 1-I. Representação matricial de (1H) na mesma figura.

Modelo em domínio de tempo
Fig 1-I

Para o domínio de frequência (tensão e corrente complexas), é usada a relação (1I) da página citada, conforme diagrama e forma matricial da Figura 1-II.

Modelo em domínio de frequência
Fig 1-II

Seja, conforme Figura 1-III, um circuito típico com transformador: no primário é aplicada uma tensão Vs e, no secundário, uma carga de impedância ZL. A Figura 1-IV dá o modelo com tensões e correntes complexas para esse circuito. A equivalência de correntes com o modelo da Figura 1-II é I1 = IS e I2 = −IL.
Circuito típico
Fig 1-III

Usando a lei de Kirchhoff para os laços do primário e do secundário,

$$j\omega L_1 I_S - j\omega M I_L = V_S \tag{1A}$$ $$\\(j\omega L_2 + Z_L)I_L = j\omega M I_S \tag{1B}$$
Desta última,

$${I_L \over I_S} = {j\omega M \over j\omega L_2 + Z_L} \tag{1C}$$
A impedância da fonte é Zs = Vs / Is. Combinando com (1A), Zs = jωL1 −jωM IL / Is. Substituindo IL / Is de (1C) e simplificando,

$$Z_S = {-\omega^2 L_1 L_2 + j\omega L_1 Z_L + \omega^2 M^2 \over j\omega L_2 + Z_L} \tag{1D}$$

Modelo para o circuito típico
Fig 1-IV

Conforme relação vista na página anterior, M = k √(L1 L2). Considerando um transformador ideal, k = 1. Portanto,

$$M = \sqrt{L_1 L_2} \tag{1E}$$
Substituindo esse valor em (1D), simplificando e dividindo numerador e denominador por jωL2,

$$Z_S = {Z_L {L_1 \over L_2} \over 1 + {Z_L \over j \omega L_2} } \tag{1F}$$
Consideram-se a relação de transformação n e sua relação com indutâncias conforme visto em página anterior:

$$n = {N_2 \over N_1} \tag{1G}$$ $${L_2 \over L_1} = n^2 \tag{1H}$$
Na igualdade (1F), se (jωL2) >> ZL e usando (1G),

$$Z_S = {Z_L \over n^2} \tag{1I}$$
A relação de tensões é VL / VS = ZL IL / (ZS IS) = (ZL / ZS) (IL / IS). Considerando (1C) e (1F) e simplificando, VL / VS = M / L1. Considerando (1E) e (H),

$${V_L \over V_S} = n \tag{1J}$$
Dividindo, na igualdade (1C), numerador e denominador por jωL2, obtém-se IL / IS = (M / L2) [ 1 / (1 + ZL / jωL2) ]. Empregando a mesma premissa anterior (jωL2) >> ZL, chega-se a IL / IS = (M / L2) e, considerando (1E) e (1H),

$${I_L \over I_S} = {1 \over n} \tag{1K}$$
As igualdades (1I), (1J) e (1K) são as relações básicas já vistas para o transformador ideal, que foram aqui obtidas a partir do conceito de indutância mútua.
Referências
Brophy, James J. Basic Electronics for Scientists. McGraw-Hill, 1977.
Giek, Kurt. Manual de Fórmulas Técnicas. São Paulo, Hemus.
Halliday, David. Resnik, Robert. Física. Rio, Ao Livro Técnico, 1970.
Hyperphysics. http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu.
US Navy. Basic Electronics. Hemus, 1976.

Topo | Rev: Mai/2018