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Transformadores Elétricos III

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Tópicos: Indutância Mútua

01) Indutância Mútua

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O conjunto das bobinas de N1 e N2 espiras da Figura 1-I forma um transformador cujo núcleo não é representado. De forma genérica, é possível supor que os fluxos magnéticos que atravessam as bobinas não são necessariamente idênticos. Para a bobina 1, pode ser considerado:

$$\Phi_1 = \Phi_{11} + \Phi_{12} \tag{1A}$$
Φfluxo total na bobina 1
Φ11fluxo na bobina 1 devido à corrente na bobina 1
Φ12fluxo na bobina 1 devido à corrente na bobina 2

De acordo com a lei de Faraday,

$$v_1(t) = N_1 \frac{d\Phi_1}{dt} = N_1 \frac{d\Phi_{11}}{dt} + N_1 \frac{d\Phi_{12}}{dt} \tag{1B}$$

Segundo relações do eletromagnetismo,

$$\Phi_{11} = N_1 \frac{i_1}{R_{m11}}\\ \Phi_{12} = N_2 \frac{i_2}{R_{m12}} \tag{1C}$$
Onde Rm11 e Rm12 são as relutâncias magnéticas dos caminhos percorridos pelos fluxos. Substituindo os valores em (1B),

$$v_1(t) = \frac{N_1^2}{R_{m11}} \frac{di_1}{dt} + \frac{N_1 N_2}{R_{m12}} \frac{di_2}{dt} \tag{1D}$$
Desenvolvimento similar pode ser feito para o outro lado, chegando-se a:

$$v_2(t) = \frac{N_2^2}{R_{m22}} \frac{di_2}{dt} + \frac{N_1 N_2}{R_{m21}} \frac{di_1}{dt} \tag{1E}$$
Transformador e indutância mútua
Fig 1-I

Os termos N12/Rm11 e N22/Rm22 são as indutâncias de cada bobina (L1, L2) e, neste caso, são denominadas auto-indutâncias. As expressões N1 N2/Rm12 e N1 N2/Rm21 também têm dimensão de indutância. Supondo o meio homogêneo,

$$R_{m12} = R_{m21} \tag{1F}$$
A indutância mútua M é definida por:

$$M = \frac{N_1 N_2}{R_{m12}} = \frac{N_1 N_2}{R_{m21}} \tag{1G}$$
Assim, as igualdades (1D) e (1E) podem ser escritas como:

$$v_1(t) = L_1 \frac{di_1}{dt} + M \frac{di_2}{dt}\\v_2(t) = M \frac{di_1}{dt} + L_2 \frac{di_2}{dt} \tag{1H}$$
Na representação com tensões e correntes complexas, são usadas as reatâncias indutivas:

$$V_1 = j \omega L_1 I_1 + j \omega M I_2\\V_2 = j \omega M I_1 + j \omega L_2 I_2 \tag{1I}$$
Das relações (1G) e (1C), deduz-se M = N1 Φ12 / i2. Para o outro lado, é possível obter resultado similar, M = N2 Φ21 / i1. Em geral, Φ12 = Φ21 = Φm. Portanto,

$$M = \frac{N_1 \Phi_m}{i_2} = \frac{N_2 \Phi_m}{i_1} \tag{1J}$$
Das auto-indutâncias mencionadas e de (1C), além da analogia para o outro lado, é possível deduzir:

$$L_1 = \frac{N_1 \Phi_{11}}{i_1}\\L_2 = \frac{N_2 \Phi_{22}}{i_2} \tag{1K}$$
Supondo uma proporcionalidade Φm = k1 Φ11 = k2 Φ22 e combinando com as igualdades anteriores, M2 = k1 k2 L1 L2. Unificando as constantes de proporcionalidade, obtém-se a indutância mútua em função das indutâncias dos enrolamentos:

$$M = k \sqrt{L_1\ L_2} \tag{1L}$$
Onde k é o coeficiente do acoplamento indutivo, que pode variar de 0 a 1. Transformadores com núcleo de ferro podem ter valores tão altos quanto 0,998. Números na faixa de 0,50 são típicos para transformadores sem núcleo (núcleo de ar). Na prática, o valor de M (e, por consequência, o de k) pode ser obtido pela medição da indutância do primário e secundário em série, que deve ser $L = L_1 + L_2 \pm M$. O sinal positivo ou negativo depende da ligação das bobinas em relação ao ponto (•) de referência (adição ou oposição de tensões).

Exemplo numérico: determinar a tensão de saída Vx do circuito da Figura 1-II.

Aplicando a lei das tensões de Kirchhoff no lado primário,

(I)   2 I1 + V1 = 10. Substituindo V1 pelo valor dado em (1I),

(II)  (2 + j 2) I1 + j 2 I2 = 10

Exemplo de circuito com indutância mútua
Fig 1-II

Para o lado do secundário, (1 + 1) I2 = − V2. Substituindo V2 pelo valor de (1I) e simplificando,

(III) j 2 I1 + (2 + j 2) I2 = 0

Essa igualdade e a anterior formam um sistema de equações lineares cuja solução é:

I1 ≈ 3,17 A ∠−18,4°
I2 ≈ 2,24 A ∠−153,4°

Portanto, Vx = 1 I2 ≈ 2,24 V ∠−153,4°
Referências
Brophy, James J. Basic Electronics for Scientists. McGraw-Hill, 1977.
Giek, Kurt. Manual de Fórmulas Técnicas. São Paulo, Hemus.
Halliday, David. Resnik, Robert. Física. Rio, Ao Livro Técnico, 1970.
Hyperphysics. http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu.
US Navy. Basic Electronics. Hemus, 1976.

Topo | Rev: Mai/2018