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Transformadores Elétricos II

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Tópicos: Transformador Ideal - Relações Básicas

01) Transformador Ideal - Relações Básicas

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Um transformador ideal pode ser representado pelo arranjo da Figura 1-I: duas bobinas, com N1 e N2 espiras de fio condutor de resistência elétrica desprezível, enroladas em um núcleo fechado de material magnético ideal, de forma que o mesmo fluxo magnético Φ atravessa ambos os enrolamentos. Segundo a lei da Faraday, as tensões são dadas por:

$$v_1 = N_1 \frac{d\Phi}{dt}\\v_2 = N_2 \frac{d\Phi}{dt} \tag{1A}$$
Combinando e simplificando,

$$\frac{v_1}{v_2} = \frac{N_1}{N_2} \tag{1B}$$
Portanto, as tensões em cada enrolamento são proporcionais aos seus números de espiras. Aplicando-se a lei de Ampère,

$$\int \vec H \cdot d\vec \ell = i_{total} = N_1 i_1 + N_2 i_2 \tag{1C}$$
Para um núcleo magnético ideal, μ → ∞ e H → 0. Assim, N1 i1 + N2 i2 = 0. Reagrupando,

$$\frac{i_1}{i_2} = - \frac{N_2}{N_1} \tag{1D}$$
Portanto, as correntes em cada bobina são inversamente proporcionais aos seus números de espiras.

Transformador ideal
Fig 1-I

A igualdade (1D) multiplicada por v1 e reagrupada resulta em N1 v1 i1 + N2 v1 i2 = 0. Combinando com (1B) e simplificando,

$$v_1 i_1 + v_2 i_2 = P_1 + P_2 = 0 \tag{1E}$$
A relação acima indica que a potência líquida é nula, ou seja, não há perda de potência no transformador ideal.

As marcas de ponto (•) nos terminais dos enrolamentos indicam correspondência de sentidos, ou seja, correntes que entram nos pontos produzem fluxos magnéticos no mesmo sentido. Assim, um acréscimo de corrente que entra no ponto de uma bobina produz uma tensão positiva no ponto da outra.

Consideram-se agora tensões e correntes complexas, simbolizadas por V e I (maiúsculos). A igualdade (1B) é escrita como:

$$\frac{V_1}{V_2} = \frac{N_1}{N_2} \tag{1F}$$
Supondo uma corrente saindo do ponto, a igualdade (1D) é escrita:

$$\frac{I_1}{I_2} = \frac{N_2}{N_1} \tag{1G}$$
Transformador ideal com carga
Fig 1-II

A Figura 1-II apresenta o esquema elétrico com símbolo usual de transformador (supostamente ideal neste caso). São considerados parâmetros complexos e uma carga de impedância Z. A potência complexa é dada por:

$$S_1 = V_1 I_1^* = (N_1 V_2\big/N_2) (N_2 I_2\big/N_1)^* = V_2 I_2^* = S_2 \tag{1H}$$

Conclui-se então que, no transformador ideal, a potência complexa é mantida. A impedância de entrada é determinada por:

Z1 = V1 / I1 = (N1 V2 / N2) / (N2 I2 / N1) = (N1 / N2)2 (V2 / I2). Portanto,

$$Z_1 = \left(\frac{N_1}{N_2}\right)^2 Z_2 \tag{1I}$$
Isso significa que transformador pode ser usado como meio de acoplamento de impedâncias entre circuitos. A impedância da carga no secundário é refletida para o primário na razão do inverso do quadrado da relação entre espiras secundário / primário.

A relação de transformação n é dada por:

$$n = \frac{N_2}{N_1} \tag{1J}$$
E as principais igualdades anteriores podem ser escritas com uso desse parâmetro:

$$V_2 = n V_1\\I_2 = \frac{I_1}{n}\\S_2 = S_1\\Z_1 = \frac{Z_2}{n^2} \tag{1K}$$
Exemplo numérico: no circuito da Figura 1-III, são conhecidos:

N1 = 1000
N2 = 100
Vs = 2500 V ∠ 0°
Zs = (0,25 + j 2) Ω
ZL = (0,2375 + j 0,05) Ω

Determinar as tensões e correntes em cada lado do transformador, que é considerado ideal.

Circuito com transformador ideal
Fig 1-III

Usando a lei das tensões de Kirchhoff no lado da fonte,

(I)  − Vs + Zs I1 + V1 = 0

 ∴ 

(0,25 + j 2) I1 + V1 = 2500 V ∠ 0°

Aplicando a mesma lei no lado da carga,

(II) − V2 + ZL I2 = 0

 ∴ 

(0,2375 + j 0,05) I2 = V2

A relação de transformação é n = N2N1 = 1001000 = 0,1. Das igualdades de (1K),

V1 = 10 V2 e também I2 = 10 I1. Combinando com a anterior (II),

(III) V1 = 10

[

(0,2375 + j 0,05) 10 I1

]

= (23,75 + j 5) I1


Inserindo V1 na outra relação anterior (I),

(IV)  (0,25 + j 2) I1 + (23,75 + j 5) I1 = 2500 V ∠ 0°

 ∴ 

(24 + j 7) I1 = 2500 V ∠ 0°

Calculando,

(V)  I1 = 100 A ∠ −16,26°

A tensão do primário é dada por:

(VI) V1 = Vs − Zs I1 = 2500 ∠ 0° − (0,25 + j 2) (100 ∠ −16,26°) = 2427,06 V ∠ −4,37°

Tensão e corrente do secundário:

(VII)  V2 = 0,1 V1 = 242,7 V ∠ 4,37°

(VIII) I2 = 10 I1 = 1000 A ∠ −16,26°
Referências
Brophy, James J. Basic Electronics for Scientists. McGraw-Hill, 1977.
Giek, Kurt. Manual de Fórmulas Técnicas. São Paulo, Hemus.
Halliday, David. Resnik, Robert. Física. Rio, Ao Livro Técnico, 1970.
Hyperphysics. http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu.
US Navy. Basic Electronics. Hemus, 1976.

Topo | Rev: Mai/2018