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Representações Paramétricas

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Tópicos: Introdução | Alguns Exemplos |

1) Introdução

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Considera-se por simplicidade uma curva plana genérica dada pela função y = F(x) conforme Figura 1-I abaixo. Portanto, essa função é a forma convencional de representação da curva. A forma paramétrica da curva considera as coordenadas de um ponto genérico P(x, y) dadas por:

$$x = f(t)\\y = g(t) \tag{1A}$$
Ou seja, as coordenadas de cada ponto da curva são funções de uma variável independente t, denominada parâmetro. Em geral, as equações paramétricas não são únicas. Uma mesma curva pode ser representada por uma variedade de formas paramétricas.

Representação Paramétrica
Fig 1-I

Para uma curva no espaço, as funções devem corresponder às três dimensões:

$$x = f(t)\\y = g(t)\\z = h(t) \tag{1B}$$
O parâmetro de uma curva é quase sempre simbolizado por t, porque em muitos fenômenos físicos o tempo é a variável usual de parâmetro (a forma paramétrica é um modo conveniente para indicar a trajetória de uma partícula em relação ao tempo). Superfícies são representadas por dois parâmetros e são comuns os símbolos u e v para eles.


2) Alguns Exemplos

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A Figura 2-I dá indicação de uma linha reta que se supõe corresponder à função:

$$y = 2x + 1 \tag{2A}$$
Uma parametrização simples é considerar:

$$f(t) = t \tag{2B}$$
Exemplo de Linha Reta
Fig 2-I

Portanto, as relações a seguir formam um conjunto de equações paramétricas para essa reta:

$$x = t\\y = 2t + 1 \tag{2C}$$
Considera-se agora, para o mesmo exemplo, a função:

$$f(t) = t^3 + 1 \tag{2D}$$
Portanto,

$$x = t^3 + 1\\y = 2(t^3 + 1) + 1 = 2t^3 + 3 \tag{2E}$$
Algumas parametrizações podem impor restrições. Seja uma outra função para essa reta:

$$f(t) = t^2 \tag{2F}$$
Então:

$$x = t^2\\y = 2t^2 + 1 \tag{2G}$$
Esse conjunto só representa a reta para x ≥ 0 porque t2 é sempre positivo para valores reais.

Seja uma circunferência de raio r e centro (x0, y0) conforme indicado na Figura 2-II. A equação convencional para a curva é:

$$(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = r^2 \tag{2H}$$
Dividindo tudo por r,

[(x − x0) / r]2 + [(y − y0) / r]2 = 1

Considerando a relação trigonométrica sin2 t + cos2 t = 1, pode-se concluir que uma forma paramétrica da circunferência é:

$$x = x_0 + r \sin t\\y = y_0 + r \cos t \tag{2I}$$
Circunferência de Raio r
Fig 2-II

Para uma elipse de semi-eixos a e b e centro em (x0, y0), a relação fundamental é:

$$\Big(\frac{x-x_0}{a}\Big)^2 + \Big(\frac{y-y_0}{b}\Big)^2 = 1 \tag{2J}$$
Procedendo de forma similar à da circunferência,

$$x = x_0 + a \sin t\\y = y_0 + b \cos t \tag{2K}$$
No caso de uma hipérbole, a equação básica é:

$$\Big(\frac{x-x_0}{a}\Big)^2 - \Big(\frac{y-y_0}{b}\Big)^2 = 1 \tag{2L}$$
Considerando a relação trigonométrica cosec2 t − cot2 t = 1, deduz-se a forma paramétrica:

$$x = x_0 + a\ \mathrm{cosec}\ t\\y = y_0 + b \ \mathrm{cot}\ t \tag{2M}$$
Examina-se agora o caso de uma parábola (Figura 2-III) na forma:

$$y = - ax^2 + b \tag{2N}$$
Por substituição de valores pode-se concluir que o vértice (x = 0) está em (0, b) e a parte direita cruza o eixo x (y = 0) em $(\sqrt{b/a}, 0)$.

Considera-se um parâmetro t tal que:

$$ f(t) = ct \tag{2O}$$
Onde c é uma constante. Substituindo,

$$x = ct\\y = - a \ c^2 t^2 + b \tag{2P}$$
Exemplo de Parábola
Fig 2-III

Analisa-se um significado físico para esse caso particular: t é tempo, x e y são as coordenadas de posição de uma partícula que se move ao longo da parábola. Considera-se apenas a parte com x e y positivos, isto é, no primeiro quadrante.

A velocidade horizontal (ao longo do eixo x) é dada pela derivação:

$$v_x = \frac{dx}{dt} = c = v_{0x} \tag{2Q}$$
Portanto, a velocidade horizontal é constante (aceleração nula). A velocidade vertical é dada por:

$$v_y = \frac{dy}{dt} = - 2 a c^2 t \tag{2R}$$
Portanto, a velocidade vertical varia linearmente com o tempo. A aceleração vertical é dada por:

$$\frac{dv_y}{dt} = - 2 a c^2 \tag{2S}$$
Resumindo, a partícula se move com velocidade horizontal constante (c) e aceleração vertical constante (−2ac2). Desprezando a resistência do ar, é o caso de um corpo lançado horizontalmente com velocidade c de uma altura b e sujeito à aceleração da gravidade g tal que:

$$2 a c^2 = g \tag{2T}$$
E a distância horizontal percorrida pelo corpo é:

$$\sqrt{\frac{b}{a}} = \sqrt{\frac{b}{\frac{g}{2c^2}}} = c \sqrt{\frac{2b}{g}} \tag{2U}$$
Seja outro exemplo, desta vez de curva no espaço: uma hélice pode ser definida como o lugar geométrico de um ponto que, em relação a um eixo, executa um movimento de rotação uniforme na direção radial e um movimento de translação uniforme na direção axial (Figura 2-IV).

Hélice
Fig 2-IV

A partir dessa definição, a equação paramétrica da hélice pode ser deduzida:

$$x = a \cos t\\y = a \sin t\\z = bt \tag{2V}$$
Onde:

a = raio da hélice
b = h/(2π)
h = passo da hélice

Muitos programas gráficos usam formas paramétricas. Como exemplo, a hélice da figura foi traçada com Gnuplot conforme o script (com a = b = 1):

set dummy u
set key right below Right noreverse noinvert enhanced box linetype -2 linewidth 1.000 samplen 4 spacing 1 width 0 height 0 autotitles
set parametric
set view 45, 50, 1, 1
set isosamples 100, 2
set hidden3d offset 1 trianglepattern 3 undefined 1 altdiagonal bentover
set ticslevel 0
set urange [ 0.00000 : 18 ] noreverse nowriteback
splot cos(u),sin(u),u
Referências
BOUCHÉ, Ch; LEITNER, A; SASS, F. Dubbel - Manual da Construção de Máquinas. São Paulo: Hemus, 1979.
Planetmath. http://planetmath.org/.
VYGODSKY, M. Mathematical Handbook. Moscow: Mir Publishers, 1971.

Topo | Rev: Fev/2008