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Matemática - Tópicos Diversos

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Tópicos: Séries Aritméticas e Geométricas | Séries Infinitas |

1) Séries Aritméticas e Geométricas

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Obs: neste tópico, os índices são contados a partir de zero. Portanto, o último termo de uma série de n ternos tem índice n − 1.

Série (ou progressão) aritmética simples

A diferença entre dois termos consecutivos é constante. Se x é o valor inicial, d a diferença e n o número de termos, a série é dada por:

$$x, x+d, \cdots , x+(n-2)d, x+(n-1)d \tag{1A}$$

Pode-se verificar que a soma de dois termos igualmente distantes das extremidades é a mesma. Por exemplo,

x + x+(n−1)d = x+d + x+(n−2)d = 2x + (n−1)d

Considerando essa propriedade e as igualdades para último termo {xn−1 = x + (n−1)d} e para o primeiro termo {x0 = x}, podem ser deduzidas fórmulas para soma dos termos:

$$s = \frac{[2x + (n-1)d]n}{2} = \frac{(x_0 + x_{n-1})n}{2} \tag{1B}$$

Série (ou progressão) geométrica

O quociente entre dois termos consecutivos é constante. Se x é o valor inicial, q o quociente e n o número de termos, a série é dada por:

$$x, xq, xq^2, \cdots, xq^{n-1} \tag{1C}$$
Calculando a soma,

s = x + xq + xq2 + ... + xqn−2 + xqn−1
sq = xq + xq2 + ... + xqn−2 + xqn−1 + xqn


Subtraindo as igualdades, s − sq = x − xqn. Assim,

$$s = \frac{x (1-q^n)}{1-q} \tag{1D}$$
No caso de série decrescente, q < 1. Se o números de termos é ilimitado, pode-se considerar qn nulo. Portanto, para esse caso particular, a soma é dada por:

$$s = \frac{x}{1-q} \tag{1E}$$
Exemplo (dízima periódica)

Para calcular a fração geratriz de 2,216666..., considera-se:

2,216666... = 2 + 21/100 + [ 6/1000 + 6/10000 + 6/100000 + ... ]

A expressão entre colchetes é uma série geométrica decrescente e ilimitada com x = 6/1000 e q = (6/10000) / (6/1000) = 1/10. Portanto, a soma é s = (6/1000) / (1 − 1/10) = 6/900. Substituindo,

$$2,216666\cdots = 2 + \frac{21}{100} + \frac{6}{900} = 2\tfrac{13}{60}$$
Exemplo (matemática financeira)

Seja uma progressão geométrica com valor inicial C0 e crescente, isto é, q > 1. Se cada termo é considerado um valor para determinado período de tempo, o valor após n períodos é $C_n = C_0 q^n$.

Fazendo q = 1 + r, pode-se considerar r a taxa de aumento da progressão. Então,

$$C_n = C_0 (1+r)^n$$
Fazendo r = p / 100, tem-se q = 1 + p / 100. Ou seja, p é o aumento percentual de cada termo em relação ao anterior. Combinando ambas, o resultado é a fórmula clássica do juro composto, isto é, um valor inicial C0 com juros de p% por período terá, após n períodos, o valor:

$$C_n = C_0 \Big(1+\frac{p}{100}\Big)^n \tag{1F}$$
Supõe-se agora que y representa o número de anos e n, o número de períodos por ano. Então o total de períodos é yn e, se r é a taxa por ano, a taxa por período é: r/n ou p/(100 n). Substituindo,

Cy = C0 (1 + r/n)yn

Introduzindo uma variável auxiliar m = n/r,

Cy = C0 (1 + 1/m)yrm = Cy = C0 [ (1 + 1/m)m ]yr

Na situação limite, o valor de n (e, portanto, de m) aumenta indefinidamente. Então,

Cy = C0 [ limm→∞ (1 + 1/m)m ]yr

Mas o limite matemático de (1 + 1/m)m é o número e (≈ 2,71828). Assim,

$$C_y = C_0 \ \mathrm e^{yr} = C_0 \ \mathrm e^{\large{y \frac{p}{00}}} \tag{1G}$$
Essa é a fórmula do juro contínuo, onde y é o número de anos (ou períodos), p é o percentual de juros por ano (ou período), C0 e Cy são os valores inicial e após y anos (ou períodos) respectivamente. Para uma formulação mais coerente com a praxe matemática, substitui-se y pela vatiável t (tempo em anos ou períodos convencionados): $C_t = C(t) = C_0 \ \mathrm e^{rt}$. Derivando em relação a t, $dC(t)\big/dt = r C_0 \ \mathrm e^{rt} = r \ C(t)$. Isso significa que, em cada instante, a variação do capital é igual á taxa multiplicada pelo próprio capital. Nota-se que é um resultado compatível com o conceito de juro contínuo.


2) Séries Infinitas

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A fórmula de Taylor permite calcular o valor de uma função com o grau de precisão que se desejar. Seja uma função f(x) cujas derivadas sucessivas no ponto x = a, isto é, f(a), f'(a), f''(a), f'''(a), etc, são conhecidas. Então,

$$f(x) = f(a) + (x-a) \frac{f'(a)}{1!} + (x-a)^2 \frac{f''(a)}{2!} + \cdots \tag{2A}$$

Se a = 0, tem-se uma série de potências para representar uma função:

$$f(x) = f(0) + x \frac{f'(0)}{1!} + x^2 \frac{f''(0)}{2!} + \cdots \tag{2B}$$

Exemplo: se f(x) = ex, as derivadas são f'(x) = ex, f''(x) = ex, etc. Portanto, f(0) = f'(0) = f''(0) = ... = 1. Ou ex = 1 + x/1! + x2/2! + x3/3! + ... . Isso significa que o número e pode ser dado por:

$$\mathrm e = 1 + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \cdots \tag{2C}$$
Seguem resultados para algumas funções usuais.

$$\sin x = \frac{x}{1!} - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots \tag{2D}$$
$$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots \tag{2E}$$
$$\mathrm e^x = 1 + \frac{x}{1!} + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots \tag{2F}$$
$$\sinh x = (\mathrm e^x - \mathrm e^{-x}) / 2 = x + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} + \cdots \tag{2G}$$
$$\cosh x = (\mathrm e^x - \mathrm e^{-x}) / 2 = x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + \cdots \tag{2H}$$
$$a^x = 1 + \ln a \frac{x}{1!} + (\ln a)^2 \frac{x2}{2!} + \cdots \ \mathrm{para} \ a>0 \tag{2I}$$
$$\mathrm e^{jx} = 1 + j\frac{x}{1!} - \frac{x^2}{2!} - j\frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + j\frac{x^5}{5!} - \cdots \tag{2J}$$
Nessa igualdade, j é a unidade imaginária ($\sqrt{-1}$). Reagrupando e separando j,

$$\mathrm e^{jx} = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots + j \Big(\frac{x}{1!} - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots \Big) \tag{2K}$$

Considerando (2E) e (2D),

$$\mathrm e^{jx} = \cos x + j \sin x \tag{2L}$$
Essa igualdade é usada na representação exponencial de números complexos.
Referências
BOUCHÉ, Ch; LEITNER, A; SASS, F. Dubbel - Manual da Construção de Máquinas. São Paulo: Hemus, 1979.
GIEK, Kurt. Manual de Fórmulas Técnicas. São Paulo: Hemus.
SIMMONS, H. A. College Algebra. New York: Macmillan.
VYGODSKY, M. Mathematical Handbook. Moscow: Mir Publishers, 1971.

Topo | Rev: Fev/2008