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Operadores

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Tópicos: Alguns Operadores para Física Quântica |


1) Alguns Operadores para Física Quântica

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Para a função de onda Ψ(x, y, z, t), há os operadores de posição para cada coordenada do espaço:

$$\hat x \Psi(x,y,z,t) = x \Psi(x,y,z,t)\\\hat y \Psi(x,y,z,t) = y \Psi(x,y,z,t)\\\hat z \Psi(x,y,z,t) = z \Psi(x,y,z,t) \tag{1A}$$
Ou seja, eles multiplicam a função pelo valor da coordenada.

Na mecânica clássica, o momento linear de uma partícula de massa m e velocidade vx, no eixo x, é dado por px = m vx. Na mecânica quântica, há o operador de momento dado por:

$$\hat p_x = {\hbar \over i}{\partial \over \partial x} \tag{1B}$$
Onde $\hbar$ é a constante de Planck reduzida = h/(2π) (algumas informações nesta página) e i é a unidade imaginária (√−1). A aplicação desse operador à função de onda, resulta na derivada dessa função (Ψx) em relação à x, multiplicada pelos demais fatores:

$$\hat p_x \Psi(x,y,z,t) = {\hbar \over i}\Psi_x(x,y,z,t) \tag{1C}$$
A presença da unidade imaginária i implica em um Operador Hermitiano. De forma similar, são definidos para as demais coordenadas ($\hat p_y\ \hat p_z$).

Na Mecânica Clássica, a energia cinética de uma partícula, em termos de componentes de velocidade, é dada por:

$$T = \tfrac{1}{2}m(v_x^2+v_y^2+v_z^2) ={(mv_x)^2+(mv_y)^2+(mv_z)^2 \over 2m} \tag{1D}$$

De forma análoga, é definido um operador de energia cinética, dado por:

$$\hat T = {\hat p_x^2+\hat p_y^2+\hat p_z^2\over 2m} \tag{1E}$$
Aplicando a definição de (1B),

$$\hat T = -{\hbar^2 \over 2m}\left({\partial^2\over\partial x^2}+{\partial^2\over\partial y^2}+{\partial^2\over\partial z^2}\right) \tag{1F}$$
O termo entre parênteses é, na praxe matemática, denominado laplaciano (2). Assim,

$$\hat T = -{\hbar^2 \over 2m}\nabla^2 \tag{1G}$$
O operador de energia potencial equivale a uma função da energia potencial dependente das coordenadas e do tempo:

$$\hat V = V(x,y,z,t) \tag{1H}$$
O operador de energia total, denominado hamiltoniano, é a soma dos anteriores:

$$\hat H = \hat T + \hat V= -{\hbar^2 \over 2m}\nabla^2 + V(x,y,z,t) \tag{1I}$$

Na Mecânica Quântica, grandezas físicas correspondem a operadores e valores mensuráveis são autovalores dos respectivos operadores.
Referências
Apostol, Tom M. Calculus. USA, Blaisdell, 1969.
Phillips, A. C. Introduction to Quantum Mechanics. John Wiley & Sons, 2003.
PlanetMath, https://planetmath.org/.
Vygodsky, M. Mathematical Handbook. Moscow, Mir Publishers, 1971.

Topo | Rev: Ago/2019