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Operadores I

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Funções podem ser vistas como mapeamentos ou regras que transformam números em outros. Operadores, por sua vez, podem ser entendidos como regras que transformam funções em outras. É praxe, mas não regra geral, o uso do símbolo de acento circunflexo para indicar (exemplo: ŝ).

Tópicos: Fundamentos | Operadores Lineares | Autofunção | Operador Hermitiano |


1) Fundamentos

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Um operador genérico  aplicado a uma função genérica f(x) é indicado simplesmente:

$$\hat A f \tag{1A}$$
Exemplo comum é a derivação d/dx, transformando uma função em outra:

$$f'(x) = {d f(x) \over dx} \tag{1B}$$
Operadores podem ser somados, subtraídos e multiplicados (esta última, leva à potência se todos iguais). Exemplos de notação:

$$(\hat A \pm \hat B) f\\(\hat A\ \hat B)f\\(\hat A^n) f = (\hat A \cdots \hat A) f \tag{1C}$$
Dois operadores são iguais se, para todas as funções f, ocorre:

$$\hat A f = \hat B f \tag{1D}$$
O operador identidade não altera a função:

$$\hat I f = f \tag{1E}$$

2) Operadores Lineares

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Um operador  é dito operador linear se dispõe da propriedade distributiva:

$$\hat A[f(x) + g(x)] = \hat A f(x) + \hat A g(x) \tag{2A}$$
E também da propriedade associativa:

$$\hat A[ k f(x)] = k \hat A f(x) \tag{2B}$$
Exemplo: o operador de raiz quadrada (√) não é linear porque $\sqrt{kX} \ne k\sqrt x$.


3) Autofunção

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Na página Autovalores e Autovetores, foi dado o conceito para matrizes que transformam vetores. Funções podem ter coisa similar, isto é, uma função f é dita autofunção de um operador  se existe um número a (autovalor) que, multiplicado pela função, resulta no operador a ela aplicado:

$$\hat A f = a f \tag{3A}$$
Exemplo: a função ex é uma autofunção com autovalor 1 do operador de derivação mencionado em (1B) porque:

$${d \over dx}(\mathrm e^x) = 1\ \mathrm e^x \tag{3B}$$
Seja agora a função ej k x, onde j é a unidade imaginária (√−1) e k um número real:

$${d \over dx}(\mathrm e^{jkx}) = jk\ \mathrm e^{jkx} \tag{3C}$$
Ela é, portanto, uma autofunção da derivação, com autovalor jk.


4) Operador Hermitiano

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Também denominado Operador Autoadjunto, é caracterizado pela intercambialidade em um Produto Interno. Assim, se  é hermitiano,

$$\langle f|\hat A g\rangle = \langle \hat A f|g\rangle \tag{4A}$$
Algumas outras propriedades são autovalores sempre reais e a existência de autofunções ortonormais (ver mesma página citada).
Referências
Apostol, Tom M. Calculus. USA, Blaisdell, 1969.
PlanetMath, https://planetmath.org/.
Vygodsky, M. Mathematical Handbook. Moscow, Mir Publishers, 1971.

Topo | Rev: Ago/2019