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Matemática - Números Complexos

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Tópicos: Introdução | Representações | Algumas Propriedades | Funções Complexas |

1) Introdução

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A raiz quadrada de um número negativo não tem solução algébrica e é considerada um número imaginário. A unidade imaginária é indicada por:

$$j = \sqrt{-1} \tag{1A}$$
Exemplo: $\sqrt{-9} = 3 j$. Da definição acima, deduz-se que:

$$j^2 = -1 \tag{1B}$$
Um número complexo z é formado por um número real e um número imaginário. De forma genérica,

$$z = a + jb \tag{1C}$$
Graficamente, num sistema de coordenadas ortogonais, os números reais estão sobre o eixo horizontal e os imaginários, sobre o eixo vertical conforme figura a seguir.

Números Complexos
Fig 1-I


2) Representações

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Da Figura 1-I, conclui-se que um ponto genérico z representa um número complexo dado por suas coordenadas a e b conforme igualdade (1C). Essa representação é dita forma retangular do número complexo (também chamada cartesiana ou algébrica).

Desde que a = r cos φ e b = r sen φ, pode-se escrever a forma trigonométrica de um número complexo:

$$z = r (\cos \varphi + j \sin \varphi) \tag{2A}$$
Ou em coordenadas polares:

$$z = (r, \varphi) \tag{2B}$$
Do estudo de séries infinitas, pode ser visto que a igualdade trigonométrica equivale a uma forma exponencial do número complexo:

$$z = r \mathrm e^{j \varphi} \tag{2C}$$
As igualdades a seguir dão resumo das formas mencionadas e relações para conversão.

$$\text{Retangular} \left\{\begin{array}{ll}z = a + jb\\a = r \cos \varphi \\b = r \sin \varphi \end{array}\right. \tag{2D}$$
$$\text{Trigonometrica} \left\{\begin{array}{ll}r(\cos \varphi + j \sin \varphi)\\ r^2 = a ^2 + b^2\\ \varphi = \mathrm{arctan}\ b/a \end{array}\right. \tag{2E}$$

$$\text{Polar} \left\{\begin{array}{ll} z = (r, \varphi) \end{array}\right. \tag{2F}$$
$$\text{Exponencial} \left\{\begin{array}{ll} z = r \ \text e ^{j \varphi} \end{array}\right. \tag{2G}$$
O comprimento r é denominado módulo ou valor absoluto do número complexo. Pode ser representado pelo símbolo do número entre barras verticais. Se z = a + j b, o seu módulo é:

$$|z| = \sqrt{a^2 + b^2} \tag{2H}$$

3) Algumas Propriedades

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Para analisar algumas propriedades e operações, considera-se o número complexo genérico z nas formas já vistas:

$$z = \left\{\begin{array}{ll}a + jb\\r(\cos \varphi + j \sin \varphi)\\(r, \varphi)\\r \mathrm e^{j \varphi}\end{array}\right.$$
E, de forma similar, z1 e z2, com os parâmetros a, b, r e φ representados com os respectivos índices.

Igualdade: se z1 = z2, então:

$$a_1 = a_2\\b_1 = b_2\\r_1 = r_2\\ \varphi_1 = \varphi_2 \tag{3A}$$
Adição e Subtração (a forma retangular é mais simples):

$$z_1 \pm z_2 = (a_1 \pm a_2) + j (b_1 \pm b_2) \tag{3B}$$
Multiplicação e divisão (as formas exponencial ou polar são mais adequadas):

$$z_1 \ z_2 = r_1 \ r_2 \ \mathrm e^{j (\varphi_1 + \varphi_2)} \tag{3C}$$
$$\frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2} \mathrm e^{j(\varphi_1 - \varphi_2)} \tag{3D}$$
Potenciação (a forma exponencial é também melhor):

$$z^n = r^n \ \mathrm e^{jn\varphi} \tag{3E}$$
A inversão é um caso particular com n = −1:

$$\frac{1}{z} = \frac{1}{r} \mathrm e^{-j\varphi} \tag{3F}$$
O conjugado complexo de um número complexo é obtido pela troca de sinal da parte imaginária. Símbolos usuais são asterisco (*) e barra superior. Assim, se z = a + j b, o conjugado é:

$$z^* = a - jb \tag{3G}$$
Na forma exponencial, se z = r e, o conjugado é:

$$z^* = r \ \mathrm e^{-j\varphi} \tag{3H}$$
Exemplos: (4 − j 5)* = 4 + j 5. Se o número é real, o conjugado é o próprio: 6* = 6

Graficamente o conjugado pode ser visto como um espelho em relação ao eixo x. Algumas propriedades são dadas a seguir.

$$(u + z)^* = u^* + z^* \tag{3I}$$ $$(u \ z)^* = u^* z^* \tag{3J}$$ $$(u \big/ z)^* = u^* \big/ z^* \ \text{para}\ z \neq 0 \tag{3K}$$ $$z^* = z \ \text{se e somente se z é real} \tag{3L}$$ $$|z^*| = |z| \tag{3M}$$ $$|z|^2 = z \ z^* \tag{3N}$$ $$1\big/z = z^* \big/ |z|^2 \ \text{para} \ z \neq 0 \tag{3O}$$
Considerando as relações já vistas, r2 = a2 + b2 e tan φ = b/a, pode-se deduzir:

$$z = \sqrt{a^2 + b^2} \ \mathrm e^{j \ \mathrm{arctan(b/a) }} \tag{3P}$$
Voltando à Figura 1-I, pode-se também considerar que um número complexo é representado por um vetor de origem em 0 e coordenadas a e b. Esse conceito é usado, por exemplo, na análise de circuitos elétricos de correntes alternadas (fasores).

Partes real e imaginária: são usuais as representações ℜ ou Re e ℑ ou Im, respectivamente. Assim, se z = a + jb,

$$\Re(z) = \mathrm{Re}(z) = a \\ \Im(z) = \mathrm{Im}(z) = b \tag{3Q}$$
Curiosidade: da igualdade r (cos φ + j sen φ) = r e, se eliminado r, tem-se (cos φ + j sen φ) = ej φ. Para φ = π, cos φ = −1 e também sen φ = 0. Substituindo,

$$\mathrm e^{j \pi} + 1 = 0 \tag{3R}$$
Essa igualdade relaciona os números fundamentais 0, 1, e, j, π


4) Funções Complexas

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De forma similar às funções de números reais, pode-se definir uma função complexa f(s), onde s é uma variável complexa ou s = a + j b.

Uma função real f(x) pode ser diretamente representada por uma curva num sistema de coordenadas xy. Entretanto, uma função complexa f(s) não tem a mesma facilidade porque os eixos são usados para indicar as partes real (Re) e imaginária (Im).

Mapeamento de uma Função Complexa
Fig 4-I

Pode-se supor então, conforme (a) da Figura 4-I, um conjunto de eixos Re Im para a variável s e outro conjunto para f(s) como em (b) da mesma figura. Assim, a função define um mapeamento de cada valor s em (a) para o respectivo valor f(s) em (b).

Exemplo 01: seja f(s) = s2. Desde que s = a + jb, deduz-se que

f(s) = a2 − b2 + j2ab

Exemplo 02: seja f(s) = 1 / (s + 1). Considerando s = a + jb, o desenvolvimento aritmético (aqui não exibido) permite chegar ao resultado:

$$f(s) = \frac{a+1}{(a+1)^2 + b^2} + j \frac{-b}{(a+1)^2 + b^2}$$
Exemplo 03: seja f(s) = es. Desde que s = a + jb,

f(s) = es = ea + jb = ea ejb

De (4) e (6), z = r e = r (cos φ + j sen φ). Portanto, e = cos φ + j sen φ

E o resultado é f(s) = ea cos b + j ea sen b
Referências
BOUCHÉ, Ch; LEITNER, A; SASS, F. Dubbel - Manual da Construção de Máquinas. São Paulo: Hemus, 1979.
GIEK, Kurt. Manual de Fórmulas Técnicas. São Paulo: Hemus.
SIMMONS, H. A. College Algebra. New York: Macmillan.
VYGODSKY, M. Mathematical Handbook. Moscow: Mir Publishers, 1971.

Topo | Rev: Fev/2008