Anotações & Informações | Fim pág | Voltar |

Matemática - Tópicos Diversos

| Índice do grupo | Página anterior | Próxima página |

Tópicos: Funções Circulares | Funções Hiperbólicas |

1) Funções Circulares

(Topo | Fim pág)

Seja, conforme Figura 1-I, uma circunferência de raio r e um ângulo central α contado do eixo horizontal em sentido anti-horário. As funções circulares básicas, também denominadas funções trigonométricas, são a seguir definidas.

\begin{align} &\text{Seno}&\quad&\sin\alpha = {y \over r} \tag{1A}\\ &\text{Cosseno}&\quad&\cos\alpha = {x \over r} \tag{1B}\\ &\text{Tangente}&\quad&\tan\alpha = {y \over x} \tag{1C}\\ &\text{Cotangente}&\quad&\cot\alpha = {x \over y} \tag{1D} \end{align}

Fig 1-I

Do teorema de Pitágoras, y2 + x2 = r2 ou (y/r)2 + (x/r)2 = 1. Assim,

$$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \tag{1E}$$
Outras relações básicas:

\begin{align}&\tan\alpha\ \cot\alpha = 1\tag{1F}\\&1 + \tan^2\alpha = {1 \over \cos^2\alpha}\tag{1G}\\&1 + \cot^2\alpha = {1 \over \sin^2\alpha}\tag{1H}\end{align}
Outras igualdades para essas funções podem ser vistas na página Relações Trigonométricas deste site.


2) Funções Hiperbólicas

(Topo | Fim pág)

A Figura 2-I mostra curvas aproximadas para as funções a seguir definidas.

\begin{align}&\text{Seno hiperbólico}&\quad&\sinh x = \frac{1}{2}(\mathrm e^x - \mathrm e^{-x}) \tag{2A}\\&\text{Cosseno hiperbólico}&\quad&\sinh x = \frac{1}{2}(\mathrm e^x + \mathrm e^{-x}) \tag{2B}\end{align}



Fig 2-I

\begin{align}&\text{Tangente hiperbólica}&\quad&\tanh x = {\sinh x \over \cosh x} \tag{2C}\\&\text{Cotangente hiperbólica}&\quad&\coth x = {\cosh x \over \sinh x} \tag{2D}\end{align}

Algumas propriedades:

\begin{align}&\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1 \tag{2E}\\&\tanh x\ \coth x = 1 \tag{2F}\\&\sinh x = - j \sin(j x)\tag{2G}\\&\cosh x = \cos(j x)\tag{2H}\\&\sin x = - j \sinh(jx)\tag{2I}\\&\cos x = \cosh(jx)\tag{2J}\end{align}
Obs: nas relações acima, j é a unidade imaginária (√−1).
Referências
Bouché, Ch; Leitner, A; Sass, F. Dubbel - Manual da Construção de Máquinas. São Paulo: Hemus, 1979.
Giek, Kurt. Manual de Fórmulas Técnicas. São Paulo: Hemus.
Simmons, H. A. College Algebra. New York: Macmillan.
Vygodsky, M. Mathematical Handbook. Moscow: Mir Publishers, 1971.

Topo | Rev: Fev/2008