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Equações Diferenciais II - Conceito e Soluções para Alguns Tipos

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Tópicos: Separação de Variáveis (cont) | Variável Auxiliar | Forma Linear |


1) Separação de Variáveis (cont)

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Continuação do mesmo tópico da página anterior. Agora com o exemplo da transformação adiabática de um gás ideal:

$$dQ = c_v dT + p dv = 0 \tag{1A}$$
Considera-se a relação da Termodinâmica: cp − cv = R. Reagrupando,

cp − cvR = 1 (a ser multiplicada pela 2ª parcela, p dv)

Assim, cv dT + (cp − cv) p dvR = 0. Reagrupando, R dT = −(cp − cv) p dv cv

Outra relação da Termodinâmica: cpcv = γ. Substituindo e simplificando,

R dT = −(γ−1) p dv. Da lei dos gases ideais, pv = RT. A diferencial é R dT = p dv + v dp. Fazendo a igualdade dos termos R dT,

p dv + v dp = −(γ−1) p dv

γ p dv = − v dp

γ p dv + v dp = 0

Dividindo as parcelas por pv para separar as variáveis e integrando,

γ dvv + dpp = 0

γ

dvv +

dpp = C
. Resolvendo, γ ln v + ln p = ln C1. E a solução é:

$$p\ v^\gamma = \text{constante} \tag{1B}$$

2) Variável Auxiliar

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$$y' = f\left({y \over x}\right)\quad z = {y \over x} \tag{2A}$$
Na forma acima, a variável z é usada para simplificar. Seja o exemplo:

$$y' = - {x+y \over x} \tag{2B}$$
Pode-se escrever: y' = −(1 + yx) = −(1 + z) = f(z). Desde que y = x z, tem-se:

y' = dydx = x dzdx + z dxdx = z + x dzdx = f(z). Portanto, x dzdx = f(z) − z. De outra forma, dxx = dzf(z) − z)

Substituindo f(z) por −(1 + z),

dxx = dz −1 − z − z = −dz1 + 2z. Integrando,

dxx = −

dz1 + 2z


Resolvendo, ln x = −ln(1 + 2z)2 + ln C2. Rearranjando, 2 ln x + ln(1 +2z) = ln C

Resolvendo os logaritmos, x2(1 + 2z) = C. Substituindo z por yx,

$$x^2 + 2xy = C\quad\text{ou}\quad y = {C - x^2 \over 2x} \tag{2C}$$


3) Forma Linear

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$${dy \over dx}+y\ g(x) +h(x) = 0 \tag{3A}$$
A solução é dada por:

$$y = -\mathrm e^{-G(x)}\int h(x) \mathrm e^{G(x)}dx + C \mathrm e^{-G(x)}\quad\text{onde}\quad G(x) = \int g(x) dx \tag{3B}$$

No exemplo do circuito RL da Figura 3-I, a chave S é fechada em t = 0, aplicando-lhe uma tensão contínua V. Determinar a corrente i(t).

Aplicando as leis de Kirchhoff,

$$V = R\ i + L {di \over dt} \tag{3C}$$

Fig 3-I

didt + RL i − VL = 0. Portanto, g(t) = RL e também h(t) = − VL.

De (3B) tem-se: G(t) =

g(t) dt =

RL dt = RL t


Substituindo em (3B),

i = −e−(R/L)t

VL e(R/L) t dt + C e−(R/L) t


i = e−(R/L)t VL LR e(R/L)t + C e−(R/L) t = VR + C e−(R/L)t

Desde que, para t = 0, ocorre i = 0, tem-se 0 = VR + C. Portanto, C = − VR

Substituindo,

i = VRVR e−(R/L)t = VR

[

1 − e−(R/L)t

]



$$i = {V \over R}\left(1 - \mathrm e^{-\large\tfrac{t}{L\over R}} \right) \tag{3D}$$
O fator LR é a constante de tempo do circuito.
Referências
Apostol, Tom M. Calculus. Blaisdell, 1969.
Bouché, Ch; Leitner, A; Sass, F. Dubbel - Manual da Construção de Máquinas. São Paulo: Hemus, 1979.
Giek, Kurt. Manual de Fórmulas Técnicas. São Paulo: Hemus.
Simmons, H. A. College Algebra. New York: Macmillan.
Vygodsky, M. Mathematical Handbook. Moscow: Mir Publishers, 1971.

Topo | Rev: Fev/2008