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Equações Diferenciais I - Conceito e Soluções para Alguns Tipos

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Tópicos: Introdução | Equações com Variáveis Separadas | Separação de Variáveis |


1) Introdução

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Uma equação diferencial de n-ésima ordem pode ser vista como uma função desconhecida na forma:

$$\Phi(x, y, y', y'', \cdots, y^{(n)}) = 0 \tag{1A}$$
Seja agora uma função:

$$y = \phi(x) \tag{1B}$$
Ela é dita solução de (1A) se, quando nessa substituída, a equação é reduzida a uma igualdade.

A forma genérica para uma equação de primeira ordem é:

$$y' = f(x) \tag{1C}$$
E a solução é dada por:

$$y = \int f(x)dx + C \tag{1D}$$
Desde que C é a constante de integração, existem infinitas soluções. Em processos práticos, C é determinado pelas condições iniciais:

$$C = y(x_0) = y_0 \tag{1E}$$
Exemplo: y' = cos x tem como solução y = sin x + C


2) Equações com Variáveis Separadas

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Considera-se a forma (onde P depende só de x e Q depende só de y):

$$P(x) dx + Q(y) dy = 0 \tag{2A}$$
A solução é dada por:

$$\int P(x) dx + \int Q(y) dy = C \tag{2B}$$
Seja agora o exemplo:

$$\sin x\ dx + {dy \over \sqrt y} = 0 \tag{2C}$$
Integrando e resolvendo,

$$-\cos x + 2 \sqrt y = C \tag{2D}$$
Nas condições iniciais x0 = π/2 e também y0 = 3, obtém-se C = 2 √3. Portanto, a solução particular para essas condições iniciais é:

$$y = \tfrac{1}{4}(2\sqrt3+\cos x)^2 \tag{2E}$$

3) Separação de Variáveis

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Seja a forma abaixo, onde X1 e X2 dependem somente de x e Y1 e Y2 dependem somente de y.

$$X_1 Y_1 dx + X_2 Y_2 dy = 0 \tag{3A}$$
Neste caso, pode ser reduzida à forma anterior pela divisão por Y1X2. Exemplo a seguir.

$$y dx - x dy = 0 \tag{3B}$$
Dividindo por xy, ocorre dxxdyy = 0 e as variáveis estão separadas no formato anterior. Assim,

dxx

dyy = C
. Resolvendo,

ln |x| − ln |y| = C. Reagrupando, ln |xy| = C. Se considerado C = ln C1, o resultado é:

$${x \over y} = C_1 \tag{3C}$$
Continua na próxima página.
Referências
Apostol, Tom M. Calculus. Blaisdell, 1969.
Bouché, Ch; Leitner, A; Sass, F. Dubbel - Manual da Construção de Máquinas. São Paulo: Hemus, 1979.
Giek, Kurt. Manual de Fórmulas Técnicas. São Paulo: Hemus.
Simmons, H. A. College Algebra. New York: Macmillan.
Vygodsky, M. Mathematical Handbook. Moscow: Mir Publishers, 1971.

Topo | Rev: Fev/2008