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Equações Diferenciais I - Conceito e Soluções para Alguns Tipos





1) Introdução

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Uma equação diferencial de n-ésima ordem pode ser vista como uma função desconhecida na forma:
$$\Phi(x, y, y', y'', \cdots, y^{(n)}) = 0 \tag{1A}$$ Seja agora uma função:
$$y = \phi(x) \tag{1B}$$ Ela é dita solução de (1A) se, quando nessa substituída, a equação é reduzida a uma igualdade. A forma genérica para uma equação de primeira ordem é:
$$y' = f(x) \tag{1C}$$ E a solução é dada por:
$$y = \int f(x)dx + C \tag{1D}$$ Desde que C é a constante de integração, existem infinitas soluções. Em processos práticos, C é determinado pelas condições iniciais:
$$C = y(x_0) = y_0 \tag{1E}$$ Exemplo: $y' = cos\ x$ tem como solução $y = sin\ x + C$


2) Equações com Variáveis Separadas

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Considera-se a forma (onde P depende só de x e Q depende só de y):
$$P(x) dx + Q(y) dy = 0 \tag{2A}$$ A solução é dada por:
$$\int P(x) dx + \int Q(y) dy = C \tag{2B}$$ Seja agora o exemplo:
$$\sin x\ dx + {dy \over \sqrt y} = 0 \tag{2C}$$ Integrando e resolvendo,
$$-\cos x + 2 \sqrt y = C \tag{2D}$$ Supõe-se que, nas condições iniciais, x0 = π/2 e também y0 = 3, obtém-se C = 2 √3. Portanto, a solução particular para essas condições iniciais é:
$$y = \tfrac{1}{4}(2\sqrt3+\cos x)^2 \tag{2E}$$

3) Separação de Variáveis

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Seja a forma abaixo, onde X1 e X2 dependem somente de x e Y1 e Y2 dependem somente de y.
$$X_1 Y_1 dx + X_2 Y_2 dy = 0 \tag{3A}$$ Nesse caso, pode ser reduzida à forma anterior pela divisão por Y1X2. Exemplo a seguir.
$$y dx - x dy = 0 \tag{3B}$$ Dividindo por xy, ocorre (dx/x) − (dy/y) = 0 e as variáveis estão separadas no formato anterior. Assim,
$$\int {dx \over x} - \int {dy \over y} = 0$$ Resolvendo, ln |x| − ln |y| = C. Reagrupando, ln | x/y | = C. Se considerado C = ln C1, o resultado é:
$${x \over y} = C_1 \tag{3C}$$

4) Exemplo - Barra com Carga Axial

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Seja uma barra reta ideal, de material elástico proporcional, de seção transversal constante, engastada em uma extremidade e submetida unicamente a um carregamento axial proporcional à posição (F = q x). A tabela a seguir lista parâmetros e variáveis.

SímbDescriçãoValor de exemploUnidade
EMódulo de elasticidade do material50GPa
LComprimento total1m
qCarregamento axial (força p/ comprimento)100N/m
SÁrea da seção transversal0,00001m2
u(x)Alongamento (variação de x devido à carga) na posição xm
xPosição na barra partir da ponta engastadam

Aplicando conceitos do Equilíbrio Estático e da Resistência dos Materiais, obtém-se a seguinte equação para o alongamento.
$$S E {d^2 u \over dx^2} + q = 0 \tag{4A}$$ É uma equação de segunda ordem mais simples, sem o termo de primeira ordem. Pode ser resolvida com uso de uma variável auxiliar. Seja então:
$$v = SE {du \over dx} \tag{4B}$$ $${dv \over dx} = -q \therefore v = -q \int dx + A \tag{4C}$$ $$v = - qx + A \tag{4D}$$ A variável v(x) equivale à força na posição x. Na posição L, é a carga total v(L) = q L. Assim, de (4D) tem-se A = 2 q L. Substituindo e considerando (4B),
$$v = SE {du \over dx} = - qx + 2 q L \tag{4E}$$ Resolvendo,
$$SE u = - q \int xdx + 2 q L \int dx + B = - q {x^2 \over 2} + 2 q L x + B \tag{4F}$$
Na posição inicial, a deformação é nula u(0) = 0. Assim B = 0 e a solução final é:
$$u = - {q \over SE} {x^2 \over 2} + 2 {q \over SE} L x \tag{4G}$$ Usando os valores de exemplo da tabela e convertendo para mm:
$$u = 1000\ (-0,00001\ x^2 + 0,00004\ x) \tag{4H}$$
A figura a seguir exibe um gráfico para essa relação.

Barra sob carregamento axial
Fig 4-I

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Apostol, Tom M. Calculus. Blaisdell, 1969.
Bouché, Ch; Leitner, A; Sass, F. Dubbel - Manual da Construção de Máquinas. São Paulo: Hemus, 1979.
Giek, Kurt. Manual de Fórmulas Técnicas. São Paulo: Hemus.
Simmons, H. A. College Algebra. New York: Macmillan.
Vygodsky, M. Mathematical Handbook. Moscow: Mir Publishers, 1971.