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Matemática - Tópicos Diversos

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Tópicos: Cálculo Integral | Algumas Propriedades da Integral | Algumas Integrais Importantes |

1) Cálculo Integral

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A integração pode ser considerada a operação inversa da derivação. Seja uma função f(x). A integral indefinida dessa função é uma função simbolizada por:

$$\int f(x) dx \tag{1A}$$
Tal que a sua derivada é igual a f(x). Portanto, se

$$y = \int f(x) dx\quad\text{ocorre}\quad {dy \over dx} = f(x)\quad\text{ou}\quad dy = f(x)\ dx \tag{1B}$$

Desde que a derivada de uma constante é nula, a função y acima acrescida de qualquer constante satisfaz à definição de integral. Assim, é usual indicar as funções de integrais na forma genérica:

$$\int f(x) dx = g(x) + C \tag{1C}$$
Onde C é uma constante qualquer.

Cálculo Integral
Fig 1-I

A integral definida corresponde à diferença da função integral entre dois pontos e equivale à área S sob a curva entre tais pontos. Ver Figura 1-I. Assim,

$$\int_a^b f(x) dx = g(b) - g(a) \tag{1D}$$
Nota-se que, no cálculo da integral definida, a constante C é eliminada pela subtração.


2) Algumas Propriedades da Integral

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$$\int a f(x) dx = a \int f(x) dx \tag{2A}$$
$$\int \left[f_1(x)+f_2(x)+\cdots \right] dx = \int f_1(x) dx + \int f_2(x) dx + \cdots \tag{2B}$$

$$\int u dx = ux - \int x du \tag{2C}$$
A relação (2C) é conhecida como integração por partes. Ela decorre da propriedade das diferenciais d(ux) = u dx + x du. Exemplo de aplicação:

Seja u = ln x. Das tabelas de diferenciais, du = (1/x) dx. Assim,

$$\int x du = \int x {1 \over x} dx = \int dx = x + C \tag{2D}$$

Portanto,

$$\int \ln x\ dx = x \ln x - x + C \tag{2E}$$

3) Algumas Integrais Importantes

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$$\int x^n dx = {1 \over n+1} x^{n+1} + C\quad\text{para}\quad n \ne -1 \tag{3A}$$

$$\int {1 \over x} dx = \ln x + C \tag{3B}$$
$$\int a^x dx = {a^x \over \ln a} + C \tag{3C}$$
$$\int \mathrm e^{ax} dx = {1 \over a}\mathrm e^{ax} + C \tag{3D}$$
$$\int \sin x\ dx = - \cos x + C \tag{3E}$$
$$\int \cos x\ dx = \sin x + C \tag{3F}$$
$$\int \tan x\ dx = - \ln |\cos x| + C \tag{3G}$$
$$\int \cot x\ dx = \ln |\sin x| + C \tag{3H}$$
Referências
Bouché, Ch; Leitner, A; Sass, F. Dubbel - Manual da Construção de Máquinas. São Paulo: Hemus, 1979.
Giek, Kurt. Manual de Fórmulas Técnicas. São Paulo: Hemus.
Simmons, H. A. College Algebra. New York: Macmillan.
Vygodsky, M. Mathematical Handbook. Moscow: Mir Publishers, 1971.

Topo | Rev: Fev/2008