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Matemática - Tópicos Diversos

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Tópicos: Cálculo Diferencial | Algumas Propriedades das Diferenciais | Algumas Diferenciais Importantes | Derivadas Parciais |

1) Cálculo Diferencial, Derivadas

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Seja uma função genérica y = f(x). A função derivada, y' ou f'(x), é dada por:

$$y' = f'(x) = \lim_{\Delta x\rightarrow 0}{f(x+\Delta x)-f(x) \over \Delta x} \tag{1A}$$

A ideia gráfica pode ser vista na Figura 1-I: uma variação entre x e x+Δx implica uma variação entre f(x) e f(x + Δx) (ou entre y e y+Δy), dada pela reta secante PQ. Se Δx tende para zero, essa reta aproxima-se da tangente no ponto P e, na situação-limite, coincide com ela. Portanto, a derivada corresponde à tangente trigonométrica do ângulo α, que a tangente geométrica faz com a horizontal.

No conceito prático, a diferencial é vista como uma variação infinitesimal de uma grandeza. É simbolizada pela letra latina d (no lugar de Δ, usado para variações normais). Exemplo: dx. Considerando os conceitos anteriores, para uma função qualquer y = f(x), a variação infinitesimal deve ser igual ao produto da derivada pela variação infinitesimal de x:

$$dy = df(x) = y' dx = f'(x) dx \tag{1B}$$
Reagrupando,

$$y' = f'(x) = {dy \over dx} = {df(x) \over dx} \tag{1C}$$
A forma acima é notação comum para derivada, dada em termo do quociente de diferenciais.

Cálculo Diferencial
Fig 1-I

Derivadas de ordens superiores: a derivada f'(x) é também uma função de x e, portanto, derivações sucessivas podem ocorrer. Notação para derivada de segunda ordem:

$$y'' = f''(x) = {d^2y \over dx^2} = {d^2f(x) \over dx^2} \tag{1D}$$
Notação para derivada genérica de ordem n:

$$y^{(n)} = f^{(n)}(x) = {d^ny \over dx^n} = {d^nf(x) \over dx^n} \tag{1E}$$
Em Física, para funções dependentes do tempo, é usual indicar a primeira e a segunda derivada com, respectivamente, um e dois pontos acima do caractere. Exemplo: se y(t) é a distância percorrida em função do tempo, $\dot y = dy/dt$ (velocidade) e $\ddot y = d^2y/dt^2$ (aceleração).


2) Algumas Propriedades das Diferenciais

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3) Algumas Diferenciais Importantes

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4) Derivadas Parciais

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Para função com mais de uma variável, a derivada parcial em relação a uma determinada variável é calculada segundo os conceitos anteriores, considerando as demais variáveis constantes. Na notação, substitui-se o caractere d por ∂. Para uma função de duas variáveis z = f(x, y), pode-se ter ∂z / ∂x e também ∂z / ∂y. Derivadas parciais de ordens superiores são escritas conforme exemplos a seguir.

$${\partial ({\partial z \over \partial x}) \over \partial x} = {\partial^2 z \over \partial x^2}\\{\partial ({\partial z \over \partial y}) \over \partial y} = {\partial^2 z \over \partial y^2}\\{\partial ({\partial z \over \partial y}) \over \partial x} = {\partial^2 z \over \partial x \partial y}\\{\partial ({\partial z \over \partial x}) \over \partial y} = {\partial^2 z \over \partial y \partial x} \tag{4A}$$
Exemplo: seja a função z = x2 + xy + y2. Derivadas até segunda ordem são:

∂z / ∂x = 2x + y
∂z / ∂y = x + 2y
2z / ∂x2 = 2
2z / ∂y2 = 2
2z / (∂x ∂y) = 1
2z / (∂y ∂x) = 1
Referências
Bouché, Ch; Leitner, A; Sass, F. Dubbel - Manual da Construção de Máquinas. São Paulo: Hemus, 1979.
Giek, Kurt. Manual de Fórmulas Técnicas. São Paulo: Hemus.
Simmons, H. A. College Algebra. New York: Macmillan.
Vygodsky, M. Mathematical Handbook. Moscow: Mir Publishers, 1971.

Topo | Rev: Fev/2008