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Transformada de Laplace 2-II

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Exemplos de uso em alguns sistemas físicos: | Alguns Elementos Mecânicos | Sistema Massa, Mola e Amortecedor |


1) Alguns Elementos Mecânicos

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A Figura 1-I exibe esquema de alguns elementos mecânicos sujeitos à ação de uma força variável com o tempo f(t). Para a massa conforme (a) da figura, usa-se a Segunda Lei de Newton,

$$f(t) = m \frac{d^2 x}{dt^2} \tag{1A}$$
E a Transformada de Laplace é:

$$F(s) = m s^2 X(s) \tag{1B}$$
Elementos mecânicos
Fig 1-I

Para uma mola de constante k, como em (b) da figura,

$$f(t) = k x(t) \tag{1C}$$
Portanto,

$$F(s) = k X(s) \tag{1D}$$
No caso de um amortecedor de coeficiente de amortecimento c, como em (c) da figura,

$$f(t) = c \frac{dx}{dt} \tag{1E}$$
Portanto,

$$F(s) = c s X(s) \tag{1F}$$

2) Sistema Massa, Mola e Amortecedor

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Na Figura 2-I, o sistema está sujeito à ação de uma força externa f(t). Então, essa força deve ser a resultante das forças em cada elemento:

$$m \frac{d^2 x}{dt^2} + c \frac{dx}{dt} + k x(t) = f(t) \tag{2A}$$
Usando as igualdades anteriores para as Transformadas de Laplace de cada elemento,

$$(ms^2 + cs + k) X(s) = F(s) \tag{2B}$$
$$X(s) = \frac{1}{ms^2 + cs + k} F(s) \tag{2C}$$
Genericamente, a função definida pela relação entre as Transformadas de Laplace da saída e da entrada de um sistema é denominada Função de Transferência G(s). Portanto, para o sistema da Figura 2-I, a função de transferência da saída deslocamento X(s) e da entrada força resultante é:

$$G(s) = \frac{1}{ms^2 + cs + k} \tag{2D}$$
De modo que:

$$X(s) = G(s) \ F(s) \tag{2E}$$
Conjunto massa, mola e amortecedor
Fig 2-I

Seja o caso particular da aplicação de uma força constante P a partir de t = 0, isto é:

$$f(t) = \left\{\begin{array}{ll}0 \quad t < 0\\P \quad t \geq 0 \end{array}\right. \tag{2F}$$
Essa é a função degrau unitário multiplicada por uma constante P. Assim,

$$F(s) = P / s \tag{2G}$$
Substituindo em (2C),

$$X(s) = \frac{P}{(ms^2 + cs + k) s} \tag{2H}$$
Exemplo numérico I:

P = 100 N
m = 100 kg
c = 300 N s/m
k = 200 N/m

Substituindo na igualdade (2H) e simplificando,

$$X(s) = \frac{1}{(s^2 + 3s + 2) s}$$
Considerando a igualdade matemática:

$$(s^2 + 3s + 2) s = s (s + 1) (s + 2) \tag{2I}$$
$$X(s) = \frac{1}{s (s + 1) (s + 2)}$$
Aplicando a expansão em frações parciais,

$$X(s) = \frac{k_1}{s} + \frac{k_2}{s + 1} + \frac{k_3}{s + 2} \tag{2J}$$
As raízes do polinômio (2I) são 0 −1 −2. E, usando o método já visto na página Transformada de Laplace 1-III,

$$k_1 = (s) X(s) \big\vert_{s=0} = \frac{1}{(s+1)(s+2)} \Big\vert_{s=0} = 0,5\\ k_2 = (s+1) X(s) \big\vert_{s=-1} = \frac{1}{(s)(s+2)} \Big\vert_{s=-1} = -1\\ k_3 = (s+2) X(s) \big\vert_{s=-2} = \frac{1}{(s)(s+1)} \Big\vert_{s=-2} = 0,5$$

Substituindo esses valores em (2J),

$$X(s) = \frac{0,5}{s} + \frac{-1}{s + 1} + \frac{0,5}{s + 2}$$
O deslocamento é dado pela transformada inversa, com resultado gráfico na Figura 2-II.

$$x(t) = \mathcal L^{-1} \lbrace X(s) \rbrace = 0,5 - \mathrm e^{-t} + 0,5 \ \mathrm e^{-2t} \tag{2K}$$

Deslocamento em função do tempo
Fig 2-II

Exemplo numérico II:

P = 100 N
m = 100 kg
c = 200 N s/m
k = 200 N/m

A igualdade (2I) passa a ser:

$$X(s) = \frac{1}{(s^2 + 2s + 2)s}$$
As raízes de (s2 + 2s + 2) são complexas: (−1 + j) e (−1 − j). Portanto,

$$(s^2 + 2s + 2) = (s + 1 + j) (s + 1 - j)$$
Para esse caso de raízes complexas, a expansão em frações parciais é dada por:

$$X(s) = \frac{1}{(s^2 + 2s + 2)s} = \frac{a}{s} + \frac{bs + c}{s^2 + 2s + 2} \tag{2L}$$

O coeficiente a é determinado pelo mesmo método anterior:

$$a = (s) X(s) \big\vert_{s=0} = \frac{1}{s^2 + 2s + 2} \Big\vert_{s=0} = 0,5$$
De (2L), pode-se deduzir:

$$1 = a(s^2 + 2s + 2) + s(bs + c) = (0,5 + b)s^2 + (c + 1)s + 1$$

Portanto, b = −0,5 e c = −1, Considera-se também a igualdade: s2 + 2s + 2 = (s + 1)2 + 1. Substituindo tudo em (2L),

$$X(s) = \frac{0,5}{s} + \frac{-0,5(s-1)}{(s+1)^2+1} = 0,5 \frac{1}{s} - 0,5 \frac{s+1}{(s+1)^2+1} - 0,5 \frac{1}{(s+1)^2+1}$$

Com as parcelas arranjadas na forma acima, a transformada inversa pode ser determinada com auxílio de uma tabela. Ver tópico Transformadas de Laplace 1-I. O resultado é:

$$x(t) = 0,5 [1 - \mathrm e^{-t} \cos t - \mathrm e^{-t} \sin t] = 0,5 - 0,5 \mathrm e^{-t} (\sin t + \cos t)$$

Usando identidade trigonométrica para (sin t + cos t),

$$x(t) = 0,5 - 0,5 \mathrm e^{-t} \sqrt 2 \sin(t + \pi/4)$$
O gráfico para esse resultado é dado na Figura 2-III. Observa-se que há uma oscilação amortecida, embora pouco visível no gráfico devido aos valores escolhidos. Nessa situação, o sistema é dito subamortecido.

Deslocamento em função do tempo
Fig 2-III

No exemplo anterior (Figura 2-II e igualdade 2K), não há oscilação e o sistema é denominado superamortecido. A relação matemática para essas condições, segundo teoria das vibrações mecânicas, é dada por:

$$c_0 = 2 m \sqrt\frac{k}{m}$$
Para esse exemplo (subamortecido), c0 = 2 100 √(200/100) ≈ 283. Com c = 200. Portanto, $c > c_0$. Para o exemplo anterior (superamortecido), c0 = 2 100 √(200/100) ≈ 283. Com c = 300. Portanto, $c < c_0$.
Referências
Planetmath. http://planetmath.org/.
VYGODSKY, M. Mathematical Handbook. Moscow: Mir Publishers, 1971.

Topo | Rev: Fev/2018