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Transformada de Laplace 2-I

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Exemplos de uso em alguns sistemas físicos: Circuito RC | Impedância | Amplificador Operacional |


1) Circuito RC

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No esquema conforme Figura 1-I, a relação entre as tensões da fonte v1, do resistor vR e do capacitor vC é dada pela lei das tensões de Kirchhoff:

$$v_1(t) = v_R(t) + v_C(t) \tag{1A}$$
Das relações básicas da eletricidade:

$$v_R (t) = R i(t) \tag{1B}$$
$$v_C(t) = \frac{1}{C} q(t) = \frac{1}{C} \int_0^t i(\tau) d\tau \tag{1C}$$
Circuito RC
Fig 1-I

Substituindo em (1B) em (1A), v1(t) = R i(t) + vC(t). Aplicando a transformada de Laplace,

$$V_1(s) = R I(s) + V_C(s) \tag{1D}$$
Aplicando a transformada de Laplace em (1C),

$$V_C(s) = \frac{1}{Cs} I(s) \tag{1E}$$
Combinando as duas últimas, com a eliminação de I(s), obtém-se a relação entre as tensões do capacitor e da fonte:

$$\frac{V_C(s)}{V_1(s)} = \frac{1}{RCs + 1} = \frac{1/(RC)}{s + 1/(RC)} \tag{1F}$$
O circuito da Figura 1-II é o mesmo anterior, com a substituição da fonte de tensão genérica pela bateria B e uma chave SW. Considerando a tensão da bateria unitária, pode-se dizer que a tensão v1(t) é a função degrau unitário u(t).

Circuito RC com chave
Fig 1-II

Portanto, $V_1(s) = 1/s$. Substituindo em (1F) e reagrupando,

$$V_C(s) = \frac{1}{s} \frac{1/(RC)}{s + 1/(RC)} \tag{1G}$$
Usando o método das frações parciais já visto em página anterior,

$$V_C(s) = \frac{k_1}{s} + \frac{k_2}{s + 1/(RC)} \tag{1H}$$
Determinando os coeficientes,

$$V_C(s) = \frac{1}{s} + \frac{-1}{s + \frac{1}{RC}} \tag{1I}$$
Resposta do circuito RC ao degrau unitário
Fig 1-III

Determinando a transformada inversa,

$$v_C(t) = 1 - \mathrm e^{-\frac{t}{RC}} \tag{1J}$$
Gráfico conforme Figura 1-III.


2) Impedância

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Considera-se agora, conforme Figura 2-I (a), um elemento genérico de circuito, pelo qual circula uma corrente i(t), que produz uma diferença de potencial v(t) entre seus terminais.

Impedância
Fig 2-I

A parte (b) da figura é a aplicação da transformada de Laplace para as variáveis anteriores. A impedância desse elemento é definida como:

$$Z(s) = \frac{V(s)}{I(s)} \tag{2A}$$
Para um resistor de resistência R, segundo a lei de Ohm, v(t) = R i(t). Portanto, V(s) = R I(s) e a impedância é:

$$Z_R(s) = R \tag{2B}$$
Para um capacitor de capacitância C, segundo a relação anterior (1E),

$$Z_C(s) = \frac{1}{Cs} \tag{2C}$$
Para um indutor de indutância L, segundo relação do eletromagnetismo, v(t) = L di(t)/dt. Portanto, V(s) = Ls I(s) e a impedância é:

$$Z_L(s) = L s \tag{2D}$$
Associações de impedâncias comportam-se como associações de resistências.

Associação de impedâncias
Fig 2-II

No exemplo da Figura 2-II, a impedância entre os pontos a e b é dada por:

$$Z_{ab} = Z_L + \frac{1}{\frac{1}{Z_R} + \frac{1}{Z_C}} \tag{2E}$$
Efetuando substituições,

$$Z_{ab} = L s + \frac{1}{\frac{1}{R} + Cs} = \frac{RLCs^2 + Ls + R}{RCs + 1} \tag{2F}$$


3) Amplificador Operacional

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No exemplo da Figura 3-I, o circuito com amplificador operacional funciona como integrador segundo a fórmula:

$$v_0(t) = - \frac{1}{RC} \int v_i(t) dt \tag{3A}$$
Integrador com amplificador operacional
Fig 3-I

Aplicando a transformada de Laplace,

$$V_0(s) = - \frac{1}{RC} \frac{1}{s} V_i(s) \tag{3B}$$
Referências
Planetmath. http://planetmath.org/.
VYGODSKY, M. Mathematical Handbook. Moscow: Mir Publishers, 1971.

Topo | Rev: Fev/2018